Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Bất đẳng thức Abel và ứng dụng Chuyên đề Toán 9

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Bất đẳng thức Abel

Bất đẳng thức lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I.Bất đẳng thức Abel

1. Công thức Abel

Giả sử  {a_1},{a_2},....,{a_n} và {b_1},{b_2},....,{b_n}  là hai dãy số thực. Khi đó ta có:

{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + .... + {a_n}{b_n} = \left( {{b_1} - {b_2}} \right){S_1} + \left( {{b_2} - {b_3}} \right){S_2} + .... + {b_n}{S_n}

trong đó {S_k} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_k}

2. Bất đẳng thức Abel

Cho hai dãy số thực {a_1},{a_2},....,{a_n} và {b_1} \ge {b_2} \ge .... \ge {b_n} . Đặt {S_k} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_k}  với k \in \left\{ {1,2,3,....n} \right\} vàm = \min \left\{ {{S_1},{S_2},...,{S_n}} \right\},M = \max \left\{ {{S_1},{S_2},...,{S_n}} \right\} . Khi đó ta cóm{b_1} \le A = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + .... + {a_n}{b_n} \le M{b_1}

II. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho x \ge y \ge z \ge 0 thỏa mãn x \ge 3,x + y \ge 5,x + y + z \ge 6 . Chứng minh {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 14

Hướng dẫn giải

Ta có

\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 14\\ = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right) \end{array}

Áp dụng công thức Abel ta có

\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 14\\ = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3 - y - 2} \right) + \left( {y + 2 - z - 1} \right)\left( {x + y - 5} \right) + \left( {z + 1} \right)\left( {x - 3 + y - 2 + z - 1} \right)\\ = \left( {x - 3} \right)\left( {x - y + 1} \right) + \left( {y - z + 11} \right)\left( {x + y - 5} \right) + \left( {z + 1} \right)\left( {x + y + z - 6} \right) \ge 0 \end{array}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3,y = 2,z = 1

Ví dụ 2: Cho các số thức dương x,y,z sao chox \ge 3,xy \ge 6,xyz \ge 6 . Chứng minh x + y + z \ge 6

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l} x + y + z - 6 = 3\left( {\dfrac{x}{3} - 1} \right) + 2\left( {\dfrac{y}{2} - 1} \right) + 1\left( {\dfrac{z}{1} - 1} \right)\\ = \left( {3 - 2} \right)\left( {\dfrac{x}{3} - 1} \right) + \left( {2 - 1} \right)\left( {\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} - 2} \right) + 1\left( {\dfrac{x}{3} - 1 + \dfrac{y}{2} - 1 + \dfrac{z}{1} - 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{x}{3} - 1} \right) + \left( {\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} - 2} \right) + \left( {\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} - 3} \right) \end{array}

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} \ge 2\sqrt {\dfrac{{xy}}{6}} \ge 2;\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{xyx}}{{3.2.1}}}} \ge 3

Suy ra điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3,y = 2,z = 1

Ví dụ 3: Cho x,y,z > 0 sao cho x < 2y < 3zvà . Chứng minh

6\left( {xy + yz + zx} \right) \le 11xyz

Hướng dẫn giải

Ta cần chứng minh \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \le \dfrac{{11}}{6} . Ta có

\begin{array}{l} \dfrac{{11}}{6} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{z}\\ = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{{y - 2}}{{2y}} + \dfrac{{z - 3}}{z}\\ = \left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{2y}}} \right)\left( {x - 1} \right) + \left( {\dfrac{1}{{2y}} - \dfrac{1}{{3z}}} \right)\left( {x + y - 3} \right) + \dfrac{1}{{3z}}\left( {x + y + z - 6} \right) \ge 0 \end{array}

Dấu bằng xảy ra khi x = 3,y = 2,z = 1

Ví dụ 4: Cho các số thực x,y,z không âm sao chox \le 1,x + y \le 5,x + y + z \le 14  . Chứng minh \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \le 6

Hướng dẫn giải

Ta có

\begin{array}{l} \dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3} = \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}} \right)x + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \right)\left( {x + y} \right) + \dfrac{1}{3}\left( {x + y + z} \right)\\ \le \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}} \right).1 + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \right).5 + \dfrac{1}{3}.14 = 1 + 2 + 3\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)^2} \le \left( {1 + 2 + 3} \right)\left( {\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3}} \right) \le \left( {1 + 2 + 3} \right) = 36 \end{array}

Dấu bằng xảy ra khix = 1,y = 4,z = 9

Ví dụ 5: Cho các số thực dương a,b,c sao cho .

\left\{ \begin{array}{l} 0 < a \le b \le c,c \ge 9\\ a + \dfrac{b}{4} + \dfrac{9}{c} \le 3\\ \dfrac{b}{4} + \dfrac{9}{c} \le 2 \end{array} \right.

Chứng minh rằng\sqrt a + \sqrt b \le \sqrt c

Hướng dẫn giải

Ta có

\begin{array}{l} \sqrt a + \sqrt b + \sqrt 9 = 1\left( {\sqrt a + \sqrt {\dfrac{b}{4}} + \sqrt {\frac{9}{c}} } \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{b}{4}} + \sqrt {\dfrac{9}{c}} } \right) + \left( {\sqrt c - 2} \right)\sqrt {\dfrac{9}{c}} \\ \le 3.\left( {\sqrt {\frac{{a + \dfrac{b}{4} + \dfrac{9}{c}}}{3}} } \right) + 2\sqrt {\dfrac{{\frac{b}{4} + \dfrac{9}{c}}}{2}} + \left( {\sqrt c - 2} \right)\sqrt {\frac{9}{2}} = 3 + 2 + \sqrt c - 2 = 3 + \sqrt c \end{array}

III. Các bài toán vận dụng sử dụng bất đẳng thức

1. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \left\{ \begin{array}{l} a \le b \le 3 \le c\\ c \ge b + 1\\ a + b \ge c \end{array} \right.. Tìm GTNN của

2. Cho các số thực a,b,c sao cho \left\{ \begin{array}{l} a \ge b \ge 1 \ge c > 0\\ \dfrac{2}{b} + c \le 2\\ \dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{b} + c \le 3 \end{array} \right.  . Chứng minh rằng \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} \le - \dfrac{1}{6}

3. Cho các số thực dương a \ge b \ge 1,a \le 3,ab \le 6,ab \le 6c . Chứng minh a + b - c \le 4

--------------------------------------------------------

Ngoài Các bất đẳng thức này, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc để bổ sung thêm kiến thức. Chúc các bạn học tập tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 177
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần