Định nghĩa thống kê của xác suất

Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A. Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:

P(A) = Số lần xuất hiện của biến cố A : N

Cách tính không gian mẫu, biến cố

Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm.

Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu f(a) khác f(b) và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu f(a) khác f(b) và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

Hàm số liên tục

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x₀ ta nói hàm số gián đoạn tại x₀.

2. y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
3. y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và .

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu f(a) khác f(b) và P là một điểm nằm giữa f(a); f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = P.

Định lí 3: Cho các hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục tại x₀. Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x₀, thương liên tục nếu g(x) ≠ 0.

Hệ quả: Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

- Nếu f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

- Nói cách khác: Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

Lời giải chi tiết

Đặt 2x = t phương trình trở thành:

2sin²t + sin3t - 1 = sint

<=> 2sint² + sin(t + 2t) – 1 – sint = 0

<=> 2sint² + sint . cos2t + cost . sin2t – 1 – sint = 0

<=> 2sint² + sint . cos2t + 2.cos²t . sin2t – 1 – sint = 0

<=> (2sint² – 1) + sint . cos2t + sint (2cos²t – 1) = 0

<=> -cos2t + sint.cos2t + sint . cos2t = 0

<=> cos2t . (-1 + 2sin2t) = 0

=> cos2t = 0 hoặc sint = 1/2

Với cos2t = 0 =>

Với sint = 1/2 =>

Kết luận nghiệm: Vậy họ nghiệm của phương trình là:

Cho số phức z = a + bi . Khi đó:

-z = -a – bi là số phức đối của z = a + bi

Hay z + (-z) = (-z) + z = 0

Ví dụ: Số phức đối của số phức z =1 – 2i là số phức w = -1 + 2i

A. Định nghĩa số phức

Cho số phức z = a + bi . Khi đó:

Ví dụ: Số phức z = 1 + 2i, z = 8 – 3i; ….

z = 1 là một số thực

z = 2i là một số thuần ảo; …

B. Quan hệ giữa các tập hợp số

- Tập số phức kí hiệu là

- Quan hệ các tập hợp số

C. Hai số phức bằng nhau

Cho z₁ = a + bi và z₂ = c + di với . Khi đó:

D. Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi duy nhất một điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ

E. Mô đun số phức

Độ dài của véc tơ OM được gọi lag mô đun của số phức z và kí hiệu là |z|

- Từ định nghĩa, suy ra hay

F. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của z kí hiệu là

Suy ra

hay

Chú ý:

Điểm biểu diễn z và đối xứng nhau qua Ox

G. Bài tập xác định số phức

Hướng dẫn giải

a) z = (3 – 2i) + (2 + i)

=> z = 3 – 2i + 2 + i

=> z = 3 + 2 - 2i + i

=> z = 5 – i

Phần thực của số phức là 5

Phần ảo của số phức là -i

b) z = (3 – 2i)(2 – i)

=> z = 6 – 3i – 4i + 2i²

=> z = 6 – 7i – 2

=> z = 4 – 7i

Phần thực của số phức là 4

Phần ảo của số phức là -7i