Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

7 Đánh giá

Luyện thi THPT Quốc Gia: Tính đơn điệu của hàm số

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Hàm số đồng biến trên R. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên R hay trên khoảng cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

A. Để hàm số đồng biến trên R

- Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b):

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a; b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a; b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số

$y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow y' = 3a{x^2} + 2bx + c$

TH1: a = 0 (nếu có tham số)

TH2: a ≠ 0

+ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.$

+ Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.$

2. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Bài tập 1: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số $y = \sin x - \cos x + 2017\sqrt 2 .mx$ đồng biến trên R?

A. $m \geqslant 2017$	B. $m < 0$
C. $m \geqslant \frac{1}{{2017}}$	D. $m \geqslant \frac{1}{{2017}}$

Hướng dẫn giải

Bước 1: Tính đạo hàm:

$\begin{matrix} y' = \cos x + \sin x + 2017\sqrt 2 .m \hfill \\ \Rightarrow y'' \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant \dfrac{{ - \sin x - \cos x}}{{2017\sqrt 2 }} = f\left( x \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Bước 2: Tìm f(max)

Bất đẳng thức Bunhiacopxki thì

$\begin{matrix} {\left( { - \sin x - \cos x} \right)^2} \leqslant \left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 2 \hfill \\ \Rightarrow - \sqrt 2 \leqslant \left( { - \sin x - \cos x} \right) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{{2017\sqrt 2 }} \leqslant f\left( x \right) \leqslant \dfrac{{\sqrt 2 }}{{2017\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{matrix}$

f(x) đạt giá trị lớn nhất là $\frac{{\sqrt 2 }}{{2017\sqrt 2 }} = \frac{1}{{2017}} \Rightarrow m \geqslant f\left( {\max } \right) = \frac{1}{{2017}}$

Chọn đáp án C

Bài tập 2: Tìm m để hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2.

A. m = 0	B. m < 3
C. m = 2	D. m > 3

Hướng dẫn giải

Bước 1: Tính đạo hàm $y' = 3{x^2} + 6x + m$

Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình đạo hàm có hai nghiệm x₁, x₂ và |x₁ – x₂| = 2

Bước 2: Áp dụng định lí Vi – et ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = - 2} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{3}} \end{array}} \right.$

Bước 3: Giải |x₁ – x₂| = 0

$\begin{matrix} \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 4 - \dfrac{{4m}}{3} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow m = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Chọn đáp án A

Bài tập 3: Tìm giá trị của tham số a để hàm số $y = {x^3} + 2\left( {a + 1} \right){x^2} - 3a.x + 5m - 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

A. $- 4 \leqslant a \leqslant - \frac{1}{4}$	B. $- 4 < a < - \frac{1}{4}$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < - 4} \\ {a > - \dfrac{1}{4}} \end{array}} \right.$	D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \leqslant - 4} \\ {a \geqslant - \dfrac{1}{4}} \end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải

$y' = 3{x^2} + 4\left( {a + 1} \right)x - 3a$

Để hàm số đồng biến trên thì:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A > 0} \\ {\Delta ' \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 > 0} \\ {4{{\left( {a + 1} \right)}^2} + 9a} \end{array} \Leftrightarrow a \in \left[ { - 4, - \frac{1}{4}} \right]} \right.$

Chọn đáp án A

Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}\left( {m - 1} \right){x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - x + 1$ . Tìm m để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

A. $- 3 \leqslant m \leqslant 1$	B. $0 \leqslant m \leqslant 1$
C. $\left( {0,1} \right]$	D. $\left[ {0,1} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $y' = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 1$

TH1: $m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1 \Rightarrow y' = - 1 < 0$ . Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

TH2: $m \ne 1$ . Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta ' \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 1} \\ {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + \left( {m - 1} \right) \leqslant 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 1} \\ {{m^2} - m \leqslant 0} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow m \in \left[ {0,1} \right)$

Đáp án D

---------------------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tìm m để hàm số nghịch biến trên R, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: