Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

8 Đánh giá

Luyện thi THPT Quốc Gia: Tính đơn điệu của hàm số

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Hàm số đồng biến trên khoảng. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc các phương pháp giải bài tập ứng dụng tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên R hay trên khoảng cùng hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

- Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b):

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a; b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a; b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

B. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y = \frac{{\tan x - 2}}{{\tan x - m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$

A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {1 \leqslant m \leqslant 2} \end{array}} \right.$	B. $m \leqslant 0$
C. $1 \leqslant m < 2$	D. $m \geqslant 2$

Hướng dẫn giải

Đặt tan x = t. Với x = 0 => t = 0 với $x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1$

Bài toán trở thành tìm m để hàm số $y = \frac{{t - 2}}{{t - m}}$ đồng biến trên (0; 1)

Hàm số phân thức hữu tỉ đồng biến

$y' > 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{{{{\left( {1 - m} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow m > 2$

Ngoài ra hàm phân thức có điều kiện tồn tại $x \ne m$

=> m không thuộc khoảng chứa x $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m \geqslant 1} \end{array}} \right.$

Kết hợp 2 điều kiện trên ta được $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {1 \leqslant m \leqslant 2} \end{array}} \right.$

Chọn đáp án A

Bài tập 2: Tìm m để hàm số $y = \frac{{{m^2}x + 6x - 2}}{{x + 2}}$ nghịch biến trên nửa khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$

Hướng dẫn giải

Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow y' = \dfrac{{m{x^2} + 4mx + 14}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \leqslant 0,\forall x \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 14 \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 4x} \right) \leqslant - 14,\forall x \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow u\left( x \right) = \dfrac{{ - 14}}{{{x^2} + 4x}} \geqslant m,\forall x \geqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {Minu\left( x \right)}\limits_{x \geqslant 1} \geqslant m \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có $u'\left( x \right) = \frac{{14\left( {2x + 4} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \geqslant 1$

=> u(x) đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$

$\Rightarrow \mathop {\min u\left( x \right)}\limits_{x \geqslant 1} = u\left( 1 \right) = \frac{{ - 14}}{5} \geqslant m$

Bài tập 3: Tìm giá trị của tham số a để hàm số $y = - \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - 4$ đồng biến trên khoảng (0; 3).

Hướng dẫn giải

$y' = - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 3} \right) \geqslant 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)$

Do y’(x) liên tục tại x = 0 và x = 3

$\begin{matrix} \Rightarrow y'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in \left( {0;3} \right) \hfill \\ \Rightarrow y'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right] \hfill \\ \Leftrightarrow m.\left( {2x + 1} \right) \geqslant {x^2} + 2x - 3,\forall x \in \left[ {0;3} \right] \hfill \\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} \leqslant m,\forall x \in \left[ {0;3} \right] \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} \leqslant m \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có: $g'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right]$

=> g(x) đồng biến trên đoạn [0; 3]

$\Rightarrow \max g\left( x \right) = g\left( 3 \right) = \frac{{12}}{7} \leqslant m$

---------------------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: