Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

23 Đánh giá

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
B. Các dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C. Bài tập tự rèn luyện tìm GTLN GTNN của biểu thức

GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong các bài kiểm tra và đề thi môn Toán lớp 8, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Đại số Toán 8. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 8 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Xét biểu thức f(x) ta nói:

•) f(x) có giá trị lớn nhỏ nhất là m nếu

f(x) ≥ m với mọi x và có có giá trị x₀ sao cho f(x₀) = m

•) f(x) có giá trị lớn lớn nhất là M nếu

f(x) ≤ M với mọi x và có có giá trị x₀ sao cho f(x₀) = M

B. Các dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1. Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai

Phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A – B)² = A² – 2AB + B²

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a) A(x) = – 3x² + x + 1

b) B(x) = 1 – 4x – 5x²

Hướng dẫn giải

a. $A\left( x \right) = - 3{x^2} + x + 1 = - 3\left( {{x^2} - 2.x.\frac{1}{6} + \frac{1}{{36}} - \frac{1}{{36}}} \right)$

$= - 3{\left( {x - \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{13}}{{12}} \leqslant \frac{{13}}{{12}}$

$\Rightarrow \max A = \frac{{13}}{{12}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x - \frac{1}{6} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{6}$

b. $B\left( x \right) = 1 - 4x - 5{x^2} = - 5\left( {{x^2} + \frac{4}{5}.x - \frac{1}{5}} \right)$

$= \frac{9}{5} - 5{\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} \leqslant \frac{9}{5}$

$\Rightarrow \max B = \frac{9}{5}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x + \frac{2}{5} = 0 \Rightarrow x = - \frac{2}{5}$

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A(x) = 2x² – 8x + 1

b) B(x) = 3x² + x – 1

Hướng dẫn giải

a) A(x) = 2x² – 8x + 1

= 2(x² – 4x + 4) – 7

= 2(x – 2)² – 7 ≥ – 7

Suy ra min A = – 7

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 2 = 0 ⇒ x = 2

b. $B\left( x \right) = 3{x^2} + x - 1 = 3{\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} - \frac{{13}}{{12}} \geqslant - \frac{{13}}{{12}}$

$\Rightarrow \min A = - \frac{{13}}{{12}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x+\frac{1}{6}=0$ ⇒ $x=-\frac{1}{6}$

2. Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức bậc cao

Phương pháp: Đưa về tổng các bình phương

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) C(x) = x⁴ – 2x³ + 3x² – 4x + 2 017

b) D(x) = x⁴ – x³ + 2x + 7

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\begin{matrix} C\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 2017 \hfill \\ C\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) - 2x\left( {{x^2} + 2} \right) + \left( {{x^2} + 2} \right) + 2015 \hfill \\ C\left( x \right) = \left( {{x^2} + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} + 2015 \geqslant 2015 \hfill \\ \end{matrix}$

$\Rightarrow \min A = 2015$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 ⇒ x = 1

b) Ta có:

$\begin{matrix} D\left( x \right) = {x^4} - {x^3} + 2x + 7 \hfill \\ D\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 1 + {x^2} + 2x + 1 + 5 \hfill \\ D\left( x \right) = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 \geqslant 5 \hfill \\ \end{matrix}$

$\Rightarrow \min A = 5$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 1 = 0} \\ {x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} \right.} \\ {x = - 1} \end{array} \Rightarrow x = - 1} \right.$

3. Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của đa thức nhiều biến (2 biến trở lên)

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A(x) = x² + xy + y² – 3x – 3y

b) B(x) = 2x² + 3y² + 4xy – 8x + 2y + 18

c) C(x) = x² + y² – xy – x + y + 1

d) D(x) = 2x² + y² – 2xy – 2x + 3

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$\begin{matrix} A\left( x \right) = {x^2} + xy + {y^2} - 3x - 3y \hfill \\ A\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) - 3 \hfill \\ A\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) - 3 \hfill \\ A\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2.\left( {x - 1} \right).\dfrac{1}{2}.\left( {y - 1} \right) + {\left( {\dfrac{{y - 1}}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{{y - 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \hfill \\ A\left( x \right) = {\left[ {x - 1 + \frac{{y - 1}}{2}} \right]^2} + \dfrac{3}{4}.{\left( {y - 1} \right)^2} - 3 \geqslant - 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi x = 1; y = 1

b. Ta có:

$\begin{matrix} B\left( x \right) = 2{x^2} + 3{y^2} + 4xy - 8x + 2y + 18 \hfill \\ B\left( x \right) = 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2x\left( {x + y} \right).2 + 4} \right] + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + 1 \hfill \\ B\left( x \right) = 2{\left( {x + y - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + 1 \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi x = 5, y = – 3

c) Ta có:

$\Rightarrow 4.C\left( x \right) = 4\left( {{x^2} + {y^2} - xy - x + y + 1} \right)$

$\Rightarrow 4.C\left( x \right) = {\left( {2x - y} \right)^2} - 2\left( {2x - y} \right) + 3{y^2} + 2y + 3 + 1$

$\Rightarrow 4.C\left( x \right) = \left( {2x - y - 1} \right) + 3\left( {{y^2} + \frac{2}{3}y + 1} \right)$

$\Rightarrow 4.C\left( x \right) = \left( {2x - y - 1} \right) + 3{\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{8}{3} \geqslant \frac{8}{3}$

$\Rightarrow \min 4C = \frac{8}{3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{2}{3}} \\ {y = - \frac{1}{3}} \end{array}} \right.$

$\Rightarrow \min C = \frac{2}{3}$

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

H(x) = – x² – y² + xy + 2x + 2y

Gợi ý:

$H\left( x \right) = - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y$

$\Rightarrow - H\left( x \right) = {x^2} + {y^2} - xy - 2x - 2y$

$\Rightarrow - H\left( x \right) = {x^2} - x\left( {y + 2} \right) + {y^2} - 2y$

$\Rightarrow - H\left( x \right) = {x^2} - 2x.\frac{{y + 2}}{2} + \frac{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}}{4} + {y^2} - 2y - \frac{{{y^2} + 4y + 4}}{4}$

4. Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức

Một số công thức bất đẳng thức thường dùng

1. Nếu a và b là hai số cùng dấu thì $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

2. Nếu a . b > 0 thì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant \frac{4}{{a + b}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

3. $\left| {a + b} \right| \leqslant \left| a \right| + \left| b \right|$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0

4. $\left| {a - b} \right| \geqslant \left| a \right| - \left| b \right|$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a ≥ b ≥ 0 hoặc 0 ≥ b ≥ a

Bất đẳng thức Cauchy

Với a, b ≥ 0 thì $\frac{{a + b}}{2} \geqslant \sqrt {ab}$ hay $a + b \geqslant 2\sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức Cauchy suy rộng

$\begin{matrix} \dfrac{1}{{\sqrt {ab} }} \geqslant \dfrac{2}{{a + b}},\left( {a,b > 0} \right) \hfill \\ {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \geqslant ab \hfill \\ {\left( {a + b} \right)^2} \geqslant 4ab \hfill \\ {a^2} + {b^2} \geqslant 2ab \hfill \\ ab \leqslant {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} \leqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 2} \right)^2},\forall x \ne - 1$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 2} \right)^2} \hfill \\ A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}{{x + 1}}} \right)^2} \hfill \\ A = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)^2} \hfill \\ A = 2{\left( {x + 1} \right)^2} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + 2\mathop \geqslant \limits_{Cauchy} 2\sqrt {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}.\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} + 2 = 2\sqrt 2 + 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2{\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow x = \frac{{ - 2 \pm \sqrt[4]{8}}}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $MinA = 2\sqrt 2 + 2$

Ví dụ 2: Cho số thức $m \geqslant 6$ . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = {m^2} + \frac{{18}}{m}$

Hướng dẫn giải

Ta biến đổi biểu thức như sau: $B = {m^2} + \frac{{18}}{m} = {m^2} + \frac{9}{m} + \frac{9}{m}$

Dễ thấy giá trị m càng tăng thì giá trị của B cũng tăng. Dự đoán giá trị nhỏ nhất khi m = 6

Ta liên kết bài toán để tìm điểm rơi như sau:

$m = 6 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{m^2}}}{a} = \dfrac{{36}}{a}} \\ {\dfrac{9}{m} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}} \end{array} \Rightarrow \frac{{36}}{a} = \dfrac{3}{2}} \right. \Rightarrow a = 24$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{matrix} B = {m^2} + \dfrac{{18}}{m} \hfill \\ \Rightarrow B = \dfrac{{{m^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{m} + \dfrac{9}{m} + \dfrac{{23{m^2}}}{{24}} \hfill \\ \Rightarrow B \geqslant 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{m^2}}}{{24}}.\dfrac{9}{m}.\dfrac{9}{m}}} + \frac{{23{m^2}}}{{24}} \geqslant \dfrac{9}{2} + \dfrac{{23.36}}{{24}} = 39 \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{m^2}}}{{24}} = \frac{9}{m} \Rightarrow m = 6$

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 39 khi và chỉ khi m = 6

C. Bài tập tự rèn luyện tìm GTLN GTNN của biểu thức

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức

a. ${x^4} - 6{x^3} + 10{x^2} - 6x + 9$	b. ${x^4} - 10{x^3} + 26{x^2} - 10x + 30$
c. ${x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 2017$	d. ${x^4} - 4{x^3} + 9{x^2} - 20x + 22$
e. $x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right)$	f. $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 3} \right) - 2006$

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a. ${x^2} - 2xy + 2{y^2} + 2x - 10y + 17$	b. ${x^2} - xy + {y^2} - 2x - 2y$
c. ${x^2} + xy + {y^2} - 3x - 3y$	d. ${x^2} - xy + 3{y^2} - 2x - 10y + 20$
e. ${x^2} + 4xy + 5{y^2} - 6y + 11$	f. ${x^2} + {y^2} - xy + 3x + 3y + 20$

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a. $- {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3$	b. $- {x^2} + xy - {y^2} - 2x + 4y - 11$
c. $- {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y$	d. $- 4{x^2} - 5{y^2} + 8xy + 10y + 12$