Sử dụng tam thức bậc 2 chứng minh bất đẳng thức Luyện tập Toán 9

1 Đánh giá

Sử dụng tam thức bậc 2 chứng minh bất đẳng thức

1. Tam thức bậc hai
2. Hệ thức Vi – ét

Chuyên đề Toán 9: Sử dụng tam thức bậc 2 chứng minh bất đẳng thức được biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập thêm các dạng bài tập nâng cao để biết được cách giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, củng cố thêm kiến thức Toán lớp 9. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo chi tiết.

1. Tam thức bậc hai

- Xét tam thức bậc hai: $f\left( x \right) = a\,{x^2} + bx + x\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ . Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac$

+ Nếu $\Delta \ge 0$ thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm

+ Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm

2. Hệ thức Vi – ét

Gọi x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì: $\left\{ \begin{array}{l} {{x_1} + } {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2}\\P = {x_1}.{x_2}\end{array} \right.$ thì có bất đẳng thức ${S^2} \ge 4P$ .

Ví dụ 1: Cho a, b thỏa mãn: a² + b² = a + 2 (1). Hãy tìm GTLN, GTNN của P = a + 2b

Hướng dẫn giải

Ta có: P = a + 2b ⇒ a = P − 2b. Thay vào (1) ta được:

(P − 2b)² + y² = (P − 2b) + 2

⇔ 5b² + 2(1 − 2P) + P² − P − 2 = 0 (2)

Để phương trình (2) có nghiệm thì

$\begin{array}{l} {\Delta ^\prime } = {\left( {1 - 2P} \right)^2} - 5\left( {{P^2} - P - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - P - 11 \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 3\sqrt 5 }}{2} \le P \le \dfrac{{1 + 3\sqrt 5 }}{2} \end{array}$

Ta có:

$P = \dfrac{{1 - 3\sqrt 5 }}{2}$ khi $b = \dfrac{{2P - 1}}{5} = \dfrac{{ - 3\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}$

$P = \dfrac{{1 + 3\sqrt 5 }}{2}$ khi $b = \dfrac{{2P - 1}}{5} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}$

Vậy $\min P = \dfrac{{1 - 3\sqrt 5 }}{2};\, \max P = \dfrac{{1 + 3\sqrt 5 }}{2}$

Ví dụ 2: Tìm cặp số (a, b) sao cho b nhỏ nhất thỏa mãn a² + 5b² + 2b + 4ab − 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Viết lại điều kiện dưới dạng a² + 4ab + 5b² + 2b − 3 = 0 (1)

Vì a, b thỏa mãn (1) nên phương trình (1) có nghiệm a hay

${\Delta ^\prime }_a \ge 0 \Leftrightarrow 4{b^2} - \left( {5{b^2} + 2b - 3} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le b \le 1$

Với b = − 3 thì a = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của b là − 3 khi a = 6

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $P = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2} - a + 1}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: ${a^2} - a + 1 = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ , do đó P luôn xác định với mọi x

$P = \frac{{{a^2} + 1}}{{{a^2} - a + 1}} \Leftrightarrow P.\left( {{a^2} - a + 1} \right) = {a^2} + 1$

$\Leftrightarrow \left( {P - 1} \right){a^2} - Pa + P - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Với P = 1 thì a = 0

Với P ≠ 1 ta có $\Delta = {P^2} - 4{\left( {P - 1} \right)^2} = - 3{P^2} + 8P - 4$

Để phương trình (*) có nghiệm thì $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \dfrac{2}{3}\\P \le 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi a = − 1

Dấu bằng ở (2) xảy ra khi a = 1

Vậy GTNN của P là khi a = − 1, GTLN của P là 2 khi a = 1

Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $P = \dfrac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}$

Hướng dẫn giải

Với b = 0 thì P = 1

Với b ≠ 0 thì $P = \dfrac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} - \dfrac{a}{b} + 1}}{{{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2} + \dfrac{a}{b} + 1}} = \dfrac{{{t^2} - t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}$ (đặt $t=\frac{a}{b}$ )