Giaitoan.com Toán 10

Tam thức bậc hai luôn dương khi nào? Bài tập Tam thức bậc 2

Nội dung
  • 4 Đánh giá

Chuyên đề: Tam thức bậc hai

GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Tam thức bậc hai luôn dương khi nào?. Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong các bài kiểm tra và đề thi môn Toán lớp 10, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Đại số lớp 10. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Điều kiện để tam thức bậc 2 luôn dương

- Cho tam thức bậc hai: f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right) và \Delta = {b^2} - 4ac. Khi đó:

+ Nếu f{\rm{ }}\left( {{\rm{ }}x} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0,\forall x \in \mathbb{R} thì \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right.
+ Nếu f{\rm{ }}\left( {{\rm{ }}x} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}0,\forall x \in\mathbb{R} thì \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right.
+ Nếu f{\rm{ }}\left( {{\rm{ }}x} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}0;\forall x \in \mathbb{R} thì \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right.
+ Nếu f{\rm{ }}\left( {{\rm{ }}x} \right){\rm{ }} \le {\rm{ }}0;\forall x \in \mathbb{R} thì \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right.

2. Bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 luôn dương

Ví dụ 1: Cho f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 1 . Tìm các giá trị của tham số m để f (x) luôn dương với mọi x

Hướng dẫn giải

Để f{\rm{ }}\left( x \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} thì:

\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} + 2 > 0\\ {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} + 2 > 0\,\,\,\left( {\forall m} \right)\\ {m^2} - 6m + 9 - {m^2} - 2 < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} + 2 > 0\,\,\,\left( {\forall m} \right)\\ - 6m + 7 < 0\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} + 2 > 0\,\,\,\left( {\forall m} \right)\\ m > \dfrac{7}{6}\, \end{array} \right. \end{array}

Để f{\rm{ }}\left( x \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} thì m > \dfrac{7}{6}

Ví dụ 2: Cho f\left( x \right) = \left( {2{m^2} - 3m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x - 1  . Tìm các giá trị của tham số m để f\left( x \right) \le 0;\,\,\forall x \in \mathbb{R}

Hướng dẫn giải

TH1: Xét: 2{m^2} - 3m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = - \dfrac{1}{2} \end{array} \right. .

Với m = 2

\Rightarrow f\left( x \right) = 0{x^2} + 2\left( {2 - 4} \right)x - 1 \le 0 \Leftrightarrow - 4x - 1 \le 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{ - 1}}{4}

Với m = - \dfrac{1}{2}

\Rightarrow f\left( x \right) = 0{x^2} + 2\left( { - \dfrac{1}{2} - 4} \right)x - 1 \le 0 \Leftrightarrow - 9x - 1 \le 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{ - 1}}{9}

TH2:

Xét: 2{m^2} - 3m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \ne 2\\ m \ne - \dfrac{1}{2} \end{array} \right. .

Khi đó điều kiện để f\left( x \right) \le 0;\,\,\forall x \in \mathbb{R} là:

\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{m^2} - 3m - 2 < 0\\ {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {2{m^2} - 3m - 2} \right)\left( { - 1} \right) \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 2} \right)\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) < 0\\ {m^2} - 4m + 4 + 2{m^2} - 3m - 2 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{2} < x < 2\\ \dfrac{1}{3} \le x \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \le x \le 2 \end{array}

Để f{\rm{ }}\left( x \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} thì \dfrac{1}{3} \le x \le 2

Ví dụ 3: Cho  f\left( x \right) = \dfrac{{ - {x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x - 4{m^2}}}{{4{x^2} - 5x + 5}}. Tìm các giá trị của tham số m để f( x) luôn âm với mọi x

Hướng dẫn giải

Ta có:

4{x^2} - 5x + 5 = 4{x^2} - 2.2x.\dfrac{5}{4} + \dfrac{{25}}{{16}} + \dfrac{{55}}{{16}} = {\left( {2x - \dfrac{5}{4}} \right)^2} + \dfrac{{55}}{{16}} > 0\,\,\forall x

Để f ( x) < 0 thì: - {x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 1 - 4{m^2} > 0

Khi đó điều kiện đển f (x) < 0 là:

\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta ' < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\ {\left( {2m + 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right)\left( { - 4{m^2}} \right) < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\ 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 2 \end{array}

Vậy m < -2 thì f (x) luôn âm với mọi x

Trên đây là bài tập hướng dẫn chi tiết Cách tìm điều kiện của tham số m để tam thức bậc hai luôn dương. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập nắm chắc kiến thức cơ bản môn Toán 10 và hỗ trợ các em học sinh trong các kì thi trong năm học lớp 10.

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 11.669
Tìm thêm: Toán 10 Bài tập Toán
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần