Phương pháp Hoắc-le trong chia đa thức Sử dụng lược đồ Hoắc-le vào các bài toán đa thức nâng cao

1 Đánh giá

Ứng dụng sơ đồ Hoocne trong phép chia đa thức

I. Giới thiệu về sơ đồ Hoắc-le
II. Cách sử dụng sơ đồ Hoắc-le
III. Vận dụng lược đồ Hoắc-le trong các bài toán

Sử dụng lược đồ Horner (Hoắc-le) để chia đa thức môn Toán lớp 8, 9 và các lớp cao hơn được GiaiToan biên soạn và giới thiệu tới quý thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo, nhằm giúp cho các em học sinh hiểu hơn về lược đồ Hoocne (Hoắc-le), cách sử dụng lược đồ và các bài tập nâng cao chia đa thức cho đa thức, từ đó nắm chắc kiến thức môn Toán, chuẩn bị tốt cho bài giảng sắp tới.

Để tài toàn bộ tài liệu, mời các bạn học sinh nhấn vào đường link sau: Ứng dụng sơ đồ Hoắc-le trong chia đa thức

I. Giới thiệu về sơ đồ Hoắc-le

Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức được sử dụng trong các bài toán nhân chia đa thức với đa thức. Đặc biệt trong các phân thức có chứa biến hay chia đa thức được ứng dụng trong chương trình toán lớp 8 và toán lớp 9.

Có rất nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, có những bài toán đa thức các bạn học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích, điển hình là các đa thức có bậc lớn hơn 4.

Biết được điều đó, GiaiToan đã biên soạn tài liệu này để giúp các bạn học sinh tiếp cận được với phương pháp chia đa thức, phân tích đa thức nhân tử một cách tiết kiệm thời gian và chính xác nhất.

Lược đồ Horner hay phương pháp Horner là 1 trong 2 cách:

1) Một thuật toán để biến đổi đa thức.

2) Một phương pháp để tính xấp xỉ nghiệm đa thức.

Phương pháp đặt tên theo nhà toán học người Anh William George Horner, mặc dù các phương pháp này đã được biết đến trước đó bởi Paolo Ruffini và sáu trăm năm trước bởi nhà toán học Trung Quốc Tần Cửu Thiều. (nguồn: wikipedia)

II. Cách sử dụng sơ đồ Hoắc-le

Lược đồ Horner (Hoocne/ Hoắc - le/ Hắc - le) ứng dụng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức $f\left( x \right)$ cho đa thức bậc nhất $x - \alpha$ , khi đó ta thực hiện như sau:

Cho đa thức $f\left( x \right)$ có bậc bằng n:

$f\left( x \right) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n}$

Khi đó đa thức thương $g\left( x \right) = {b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}$ và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

$x$	${a_0}$	${a_1}$	…	${a_{n-1}}$	${a_n}$
$\alpha$	${b_0} = {a_0}$	${b_1} = {b_0}\alpha + {a_1}$	…	${b_{n - 1}} = {b_{n - 2}}\alpha + {a_{n - 1}}$	$r = {b_{n - 1}}\alpha + {a_n}$

Ta được cách làm theo các bước như sau:

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức $f\left( x \right)$ theo ẩn giảm dần và đặt số $\alpha$ vào cột đầu tiên của hàng thứ 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào đó thì ta coi hệ số của nó bằng 0 và vẫn phải điền vào lược đồ.

Bước 2: Cột thứ 2 của hàng 2 ta hạ hệ số ${a_0}$ ở hàng trên xuống. Đây chính là hệ số đầu tiên của $g\left( x \right)$ tìm được, tức là ${b_0} = {a_0}$ .

Bước 3: Lấy số $\alpha$ nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1 (Ví dụ nếu ta muốn tìm hệ số ${b_1}$ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy $\alpha$ nhân với hệ số ${b_0}$ sau đó cộng với hệ số ${a_1}$ ở hàng trên; tương tự như vậy nếu ta muốn tìm hệ số ${b_2}$ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy $\alpha$ nhân với hệ số ${b_1}$ sau đó cộng với hệ số ${a_2}$ ở hàng trên,….)

Quy tắc ghi nhớ: NHÂN NGANG, CỘNG CHÉO.

Bước 4: Cứ tiếp tục như vậy cho tới hệ số cuối cùng và kết quả ta sẽ có

$f\left( x \right) = \left( {x - \alpha } \right).g\left( x \right) + r$

hay

${a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n} = \left( {x - \alpha } \right)\left( {{b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}} \right) + r$

Chú ý:

+ Bậc của đa thức $g\left( x \right)$ luôn nhỏ hơn bậc của đa thức $f\left( x \right)$ 1 bậc vì đa thức chia $x - \alpha$ có bậc bằng 1.

+ Nếu $r = 0$ thì đa thức $f\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $g\left( x \right)$ và $x = \alpha$ sẽ là một nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ . Trong trường hợp này chính là phân tích đa thức thành nhân tử. Để tìm được $\alpha$ , ta sẽ nhẩm một nghiệm nguyên của đa thức $f\left( x \right)$ , $\alpha$ chính là nghiệm mà ta vừa nhẩm được.

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức $f\left( x \right) = 2{x^4} - 3{x^2} + 7x - 6$ cho đa thức $x - 2$ .

Lời giải:

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có lược đồ Hoắc-le như sau:

$x$	2	0	-3	7	6
$\alpha=2$	2	2.2 + 2 = 6	2.6 – 3 = 9	2.7 + 7 = 21	2.6 + 6 = 18

Đa thức $g\left( x \right)$ tìm được ở đây chính là:

$g\left( x \right) = 2{x^3} + 6{x^2} + 9x + 21$ và $r = 18$

Vậy khi chia đa thức $f\left( x \right) = 2{x^4} - 3{x^2} + 7x - 6$ cho đa thức $x - 2$ ta được:

$f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {2{x^3} + 6{x^2} + 9x + 21} \right) + 18$

Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng lược đồ Hoắc-le. Vậy thì trong một số trường hợp sau đây ta có thể sử dụng lược đồ:

+ Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.

+ Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc lớn hơn 4….

+ Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 3).

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình $6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6 = 0$ .

Lời giải:

Với phương trình này, khi nhẩm nghiệm, ta được $x = 3$ là một nghiệm của phương trình. Vì thế, ta sẽ đi phân tích đa thức $f\left( x \right) = 6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6$ thành nhân tử bằng cách chia đa thức này cho $x - 3$ .

Ta có lược đồ Hoắc-le như sau:

$x$	6	-11	-19	-6
$\alpha=3$	6	3.6 – 11 = 7	3.7 – 19 = 2	3.2 – 6 = 0

Vậy khi chia đa thức $f\left( x \right) = 6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6$ cho đa thức $x - 3$ ta được:

$f\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {6{x^2} + 7x + 2} \right)$

Tiếp tục phân tích đa thức $6{x^2} + 7x + 2$ thành nhân tử, ta được:

$\begin{matrix} 6{x^2} + 7x + 2 \hfill \\ = 6{x^2} + 3x + 4x + 2 \hfill \\ = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy đa thức $f\left( x \right)$ sau khi phân tích đa thức thành thành tích của các đa thức bậc 1 sẽ được $f\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)$ .

Nghiệm của phương trình là $x = 3;\,\,\,x = - \frac{1}{2};\,\,\,x = \frac{{ - 2}}{3}$

III. Vận dụng lược đồ Hoắc-le trong các bài toán

Bài 1: Thực hiện phép chia đa thức:

a) $2{x^5} + 7{x^3} + 2x - 1$ cho $x - 4$

b) $5{x^7} + 4{x^3} - 5{x^2} + 1$ cho $x + 6$

c) ${x^4} + 7{x^5} - 3{x^2} + 6x + 1$ cho $3x - 1$

d) $2{x^8} - 7{x^2} + 5{x^6} + 4{x^3} - 9$ cho $x + 10$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) ${x^5} - {x^4} - {x^3} - {x^3} - x - 2 = 0$

b) ${x^3} - 12x + 16 = 0$

c) $\left( {{x^2} + x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 6$

d) $2{x^4} - 21{x^3} + 34{x^2} + 105x + 50 = 0$

-------

Ngoài chuyên đề sử dụng sơ đồ Hoắc-le để chia đa thức trên, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu học tập lớp 8, lớp 9, lớp 10,... mà chúng tôi đã biên soạn và được đăng tải trên GiaiToan. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Chia sẻ bởi: