Đen2017 Hỏi đáp Toán 7 Toán 7 Bài tập Toán 7

Biết p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh p^2 -1 chia hết cho 24

Biết p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh p² -1 chia hết cho 24

27 2

Xóa Đăng nhập để viết

2 Câu trả lời

Đen2017
Cách 2:
Ta có: p² - 1 = (p - 1)(p + 1)
Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, suy ra p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp. Trong hai số chẵn liên tiếp luôn có một số chia hết cho 4 nên tích (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 . 4 = 8 (1).
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈∈ N)
+ Nếu p = 3k + 1 thì p - 1 = 3k ⋮ 3, do đó tích (p - 1)(p + 1) ⋮ 3
+ Nếu p = 3k - 1 thì p + 1 = 3k ⋮ 3, do đó tích (p - 1)(p + 1) ⋮ 3
Từ hai trường hợp trên suy ra (p - 1)(p + 1) ⋮ 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (p - 1)(p + 1) ⋮ 3 và 8, do đó (p - 1)(p + 1) ⋮ 24 hay p² - 1 ⋮ 24(đpcm)
Trả lời hay
164 Trả lời 23/04/22
Bơ
Cách 1: Ta có: p²-1= p² +p - p+1 = (p²+p) - (p+1) = p(p+1) - (p+1) = (p-1).(p+1)
Vì p là số nguyên tố > 3 =>p lẻ => (p - 1) và (p + 1) là 2 số chẵn liên tiếp
=> (p - 1)(p + 1)⋮8
Vì p là số nguyên tố >3 =>p=3k+1;3k+2
với p=3k+1=>(3k+1 - 1)(p+1)=3k(p+1) chia hết cho 3 (1)
với p=3k+2=>(p-1)(3k+2+1)=(p-1)(k+1).3 chia hết cho 3(2)
từ (1)(2 )=>(p²-1)chia hết cho 3;8
Trả lời hay
20 Trả lời 23/04/22

Tìm thêm: Toán 7 Bài tập Toán 7

Câu hỏi mới

Danh mục

Hỏi bài ngay thôi!

Hỏi đáp Toán 7