Bài Toán Công Việc Chung Toán nâng cao - Toán tư duy

7 Đánh giá

Bài toán công việc chung, công việc riêng

A. Lý thuyết bài toán Công việc chung, công việc riêng
- 1. Cách tính một giờ làm được bao nhiêu phần của công việc?
- 2. Cách tính thời gian hoàn thành công việc.
B. Bài tập minh họa toán công việc chung
C. Bài tập tự luyện toán công việc chung

A. Lý thuyết bài toán Công việc chung, công việc riêng

Trong chương trình lớp 4 và lớp 5, các em học sinh sẽ gặp phải những bài toán có dạng: Hai vòi cùng chảy vào bể..., ba người cùng làm chung một công việc... Đây chính là những bài toán nằm trong chuyên đề Toán công việc chung

Trong bài toán này chúng ta lưu ý những điều sau:

1 công việc, 1 bể nước,... trong bài toán chia phần ta coi nó là số 1.
Mỗi người làm việc với thời gian khác nhau, nên để so sánh xem ai làm được nhiều hơn hay ít hơn chúng ta sẽ đưa về 1 giờ mỗi người làm được bao nhiêu phần của công việc.
Các em học sinh ôn tập lại bài toán chia phần, hiểu cách tính giá trị một phần.

1. Cách tính một giờ làm được bao nhiêu phần của công việc?

Ví dụ minh họa 1: Một người làm một công việc trong 5 giờ sẽ xong. Hỏi mỗi giờ người đó làm được bao nhiêu phần của công việc?

Hướng dẫn giải:

Nhìn vào sơ đồ, các em học sinh có thể thấy công việc được chia làm 5 phần bằng nhau tương ứng với 5 giờ để hoàn thành. Vậy 1 giờ sẽ làm được $\frac{1}{5}$ công việc

Ví dụ minh họa 2: Người thứ nhất hoàn thành công việc trong 3 giờ. Người thứ hai hoàn thành công việc trong 8 giờ. Hỏi một giờ, cả hai người làm được bao nhiêu phần của công việc?

Hướng dẫn giải:

Ở đây, các em học sinh tránh nhầm lẫn việc lấy tổng thời gian làm việc của 2 người là 8 + 3 = 11 giờ rồi vẽ sơ đồ như trên. Chúng ta cần phải tính riêng của từng người trước rồi mới tính tổng của cả hai người.

Giải

Trong một giờ, người thứ nhất làm được số phần của công việc là:

$1:3=\frac{1}{3}$ (công việc)

Trong một giờ, người thứ hai làm được số phần của công việc là:

$1:8=\frac{1}{8}$ (công việc)

Trong một giờ, cả hai người làm được số phần của công việc là:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{11}{24}$ (công việc)

Đáp số: $\frac{11}{24}$ công việc

2. Cách tính thời gian hoàn thành công việc.

Ví dụ minh họa 1: Một người trong một giờ làm được $\frac{2}{7}$ công việc. Hỏi mất bao lâu để hoàn thành công việc đó?

Hướng dẫn giải:

Nhìn vào sơ đồ, các em học sinh có thể thấy công việc được chia làm 7 phần, và một giờ sẽ làm được 2 phần của công việc.

Bài giải

Giá trị một phần là:

$1:2=\frac{1}{2}$ (giờ)

Hoàn thành công việc mất số giờ là:

$\frac{1}{2}\times7=\frac{7}{2}$ (giờ)

Chúng ta viết gọn như sau: $1:\frac{2}{7}=\frac{7}{2}$ (giờ)

Ví dụ minh họa 2: Người thứ nhất hoàn thành công việc trong 3 giờ. Người thứ hai hoàn thành công việc trong 8 giờ. Hỏi cả hai người cùng làm thì bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Hướng dẫn giải:

Ở đây, chúng ta nghiên cứu tiếp tục ví dụ của phần 1. Theo ví dụ 1, muốn tìm thời gian hoàn thành công việc ta phải biết 1 giờ làm được bao nhiêu phần của công việc

Dựa theo kết quả phía trên, một giờ cả hai người làm được $\frac{11}{24}$ công việc

Bài giải

Hai người hoàn thành công việc mất số giờ là:

$1:\frac{11}{24}=\frac{24}{11}$ (giờ)

Đáp số: $\frac{24}{11}$ giờ.

B. Bài tập minh họa toán công việc chung

Bài 1: Hai vòi cùng chảy vào bể sau 5 giờ sẽ đầy. Nếu chỉ có mình vòi 1 chảy thì sau 8 giờ mới đầy bể. Hỏi nếu chỉ có vòi 2 chảy thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Hướng dẫn giải:

Nhận xét: Muốn tìm thời gian vòi 2 chảy đầy bể, chúng ta phải biết một giờ vòi 2 chảy được bao nhiêu phần của bể.

Bài giải

Một giờ, cả hai vòi chảy được số phần của bể là:

$1:5=\frac{1}{5}$ (bể)

Một giờ, vòi 1 chảy được số phần của bể là:

$1:8=\frac{1}{8}$ (bể)

Một giờ, vòi 2 chảy được số phần của bể là:

$\frac{1}{5}-\frac{1}{8}=\frac{3}{40}$ (bể)

Thời gian để vòi 2 chảy đầy bể là:

$1:\frac{3}{40}=\frac{40}{3}$ (giờ)

Đáp số: $\frac{40}{3}$ giờ

Bài 2: Người thứ nhất hoàn thành công việc trong 15 ngày. Người thứ hai làm một mình sẽ xong trong 12 ngày và người thứ ba là 18 ngày. Hỏi cả ba người cùng làm thì sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu?

Lời giải chi tiết:

Bài giải

Một ngày, người thứ nhất làm được số phần của công việc là:

$1:15=\frac{1}{15}$ (công việc)

Một ngày, người thứ hai làm được số phần của công việc là:

$1:12=\frac{1}{12}$ (công việc)

Một ngày, người thứ ba làm được số phần của công việc là:

$1:18=\frac{1}{18}$ (công việc)

Một ngày, cả ba người làm được số phần của công việc là:

$\frac{1}{15}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{37}{180}$ (công việc)

Thời gian để cả ba người hoàn thành công việc là:

$1:\frac{37}{180}=\frac{180}{37}$ (giờ)

Đáp số: $\frac{180}{37}$ giờ

Bài 3: Máy cày thứ nhất cần 8 giờ để cày xong một cánh đồng, máy cày thứ hai cần 12 giờ để cày xong diện tích cánh đồng ấy. Người ta cho máy cày thứ nhất làm việc trong 6 giờ rồi nghỉ để máy cày thứ hai làm tiếp cho đến khi cày hết diện tích cánh đồng. Hỏi máy cày thứ hai đã làm trong bao lâu?

Lời giải chi tiết:

Bài giải

Một giờ, máy cày thứ nhất cày được:

$1:8=\frac{1}{8}$ (diện tích cánh đồng)

Một giờ, máy cày thứ hai cày được:

$1:12=\frac{1}{12}$ (diện tích cánh đồng)

Trong 6 giờ, máy cày thứ nhất đã cày được:

$\frac{1}{8}\times6=\frac{3}{4}$ (diện tích cánh đồng)

Diện tích mà máy cày thứ hai phải cày nốt là:

$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ (diện tích cánh đồng)

Thời gian để máy cày thứ hai cày hết phần diện tích còn lại là:

$\frac{1}{4}:\frac{1}{12} = 3$ (giờ)

Đáp số: 3 giờ

C. Bài tập tự luyện toán công việc chung

Bài 1: Linh và Hoa nhận làm chung một công việc. Nếu một mình Linh làm thì sau 5 giờ sẽ xong. Nếu một mình Hoa làm thì sau 10 giờ sẽ xong. Hỏi nếu cả hai bạn cùng làm thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó?

Lời giải chi tiết:

Bài giải

Trong một giờ, Linh làm được số phần công việc là:

$1:5=\frac{1}{5}$ (công việc)

Trong một giờ, Hoa làm được số phần công việc là:

$1:10=\frac{1}{10}$ (công việc)

Một giờ, cả hai bạn làm được số phần của công việc là:

$\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{3}{10}$ (công việc)

Thời gian để hai bạn hoàn thành công việc là:

$1:\frac{3}{10}=\frac{10}{3}$ (giờ)

Đáp số: $\frac{10}{3}$ giờ

Bài 2: Có một công việc mà An làm một mình trong 6 ngày sẽ xong. Hòa làm một mình thì sau 9 ngày sẽ xong việc đó. Linh làm một mình phải cần số ngày gấp 3 lần số ngày của An và Hòa. Hỏi nếu cả ba người cùng làm thì bao lâu sẽ xong việc?

Lời giải chi tiết:

Bài giải

Linh làm một mình thì sẽ hoàn thành công việc trong số ngày là:

(9 + 6) x 3 = 45 (ngày)

Một ngày An làm được số phần công việc là:

$1:6=\frac{1}{6}$ (công việc)

Một ngày Hòa làm được số phần công việc là:

$1:9=\frac{1}{9}$ (công việc)

Một ngày Linh làm được số phần công việc là:

$1:45=\frac{1}{45}$

Một ngày, cả ba bạn làm được số phần của công việc là:

$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{45}=\frac{3}{10}$ (công việc)

Thời gian để cả ba bạn hoàn thành công việc là:

$1:\frac{3}{10}=\frac{10}{3}$ (ngày)

Đáp số: $\frac{10}{3}$ ngày

Bài 3: Vòi 1 cần 9 giờ để chảy đầy bể, vòi 2 cần 15 giờ để chảy đầy bể. Người ta cho vòi 1 chảy trong 6 giờ rồi nghỉ để vòi 2 chảy nốt cho đến khi đầy bể. Hỏi vòi 2 đã chảy trong bao lâu?

Lời giải chi tiết:

Bài giải

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được:

$1:9=\frac{1}{9}$ (bể)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được:

$1:15=\frac{1}{15}$ (bể)

Trong 6 giờ, vòi 1 chảy được:

$\frac{1}{9}\times6=\frac{2}{3}$ (bể)

Vòi 2 đã chảy trong số giờ là:

$\left ( 1-\frac{2}{3} \right ) :\frac{1}{15}= 5$ (giờ)

Đáp số: 5 giờ

Bài 4: Hai bạn A và B cùng làm một công việc trong 48 ngày sẽ xong. Cũng công việc đó A làm một mình trong 63 ngày sau đó B làm tiếp 28 ngày nữa thì hoàn thành . Hỏi A làm một mình thì mất bao lâu để hoàn thành công việc.

Hướng dẫn: Trong bài toán này, chúng ta chỉ biết thời gian hoàn thành công việc của cả 2 bạn nên chúng ta sẽ đi giả sử hai bạn cùng làm chung với nhau trong 28 ngày.

Quan sát sơ đồ sau:

Trong 63 ngày bạn A làm một mình, ta giả sử bạn ấy làm chung với B 28 ngày và tự làm một mình trong 63 - 28 = 35 ngày

Bài giải

Giả sử hai bạn làm chung với nhau trong 28 ngày.

Một ngày, hai bạn làm được số phần của công việc là:

$1:48=\frac{1}{48}$ (công việc)

Trong 28 ngày, hai bạn làm được số phần của công việc là:

$\frac{1}{48}\times28= \frac{7}{12}$ (công việc)

Bạn A sẽ làm một mình trong số ngày là:

63 - 28 = 35 (ngày)

Bạn A làm một mình được số phần của công việc là:

$1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$ (công việc)

Thời gian để bạn A hoàn thành tất cả công việc một mình là:

$35:\frac{5}{12}=84$ (ngày)

Đáp số: 84 ngày

Bài 5: Vòi 1 và vòi 2 cùng chảy thì sau 9 giờ sẽ đầy bể. Nếu cho vòi 1 chảy một mình trong 8 giờ rồi để vòi 2 chảy tiếp trong 12 giờ thì sẽ đầy bể. Hỏi nếu chỉ có một mình vòi 2 chảy thì bao lâu sẽ đầy bể?

Hướng dẫn: Học sinh làm tương tự Bài 4

Quan sát sơ đồ sau:

Lời giải vắt tắt:

Giả sử hai vòi cùng chảy trong 8 giờ.

Trong 8 giờ, hai vòi chảy được:

$\frac{1}{9}\times8=\frac{8}{9}$ (bể)

Một mình vòi 2 sẽ chảy đầy bể trong số giờ là:

$(12-8):\left ( 1-\frac{8}{9}\right ) =36$ (giờ)

Đáp số: 36 giờ.

>>Bài tiếp theo: Bài Toán Tỉ Lệ Thuận, Tỉ Lệ Nghịch Toán 5

Bài Toán Công việc chung, công việc riêng được GiaiToan chia sẻ trên đây. Với bài tập cụ thể kèm theo lời giải sẽ là tài liệu hữu ích cho các em tham khảo, dựa vào đó để rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán lớp 5: Ôn tập giải toán. Chúc các em học tốt, ngoài việc tham khảo tài liệu trên các em cũng có thể tham khảo thêm Lý thuyết Toán lớp 5, Giải Toán Lớp 5, Luyện Tập Toán Lớp 5, Vở Bài Tập Toán Lớp 5 được GiaiToan biên soạn nhé!

Chia sẻ bởi: