Giaitoan.com Toán 12

Nguyên hàm tanx Tính nguyên hàm

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Nguyên hàm lượng giác

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Công thức Toán 12: Nguyên hàm tanx. Bộ tài liệu có hướng dẫn chi tiết cách tìm nguyên hàm được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

A. Công thức nguyên hàm tanx

\int {\tan xdx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C

B. Công thức nguyên hàm của hàm số hợp (với u = u(x))

\int {\tan udu} = - \ln \left| {\cos u} \right| + C

C. Công thức nguyên hàm của hàm số hợp tan(ax + b)

\int {\tan \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}\ln \left| {\cos \left( {ax + b} \right)} \right|dx + C

Lưu ý: \int {\cos axdx} = - \frac{{\ln \left| {\cos ax} \right|}}{a}dx + C

D. Cách tính nguyên hàm tanx

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) = tan2x trên tập số thực ta thu được kết quả:

A. \int {f\left( x \right)dx = \frac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \ln \left| {\cos x} \right| + C}

B. \int {f\left( x \right)dx = \frac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\sin x} \right| + C}

C. \int {f\left( x \right)dx = \frac{{{{\tan }^2}x}}{2} - \ln \left| {\cos x} \right| + C}

D. \int {f\left( x \right)dx = \frac{{{{\tan }^4}x}}{{4{{\cos }^2}x}} + C}

Hướng dẫn giải

Ta có: y = f(x) = tan2x = tanx.(1 + tan2x) – tanx

Khi đó \int {{{\tan }^2}xdx = \int {\tan xd\left( {\tan x} \right)} + \int {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}} = \frac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \ln \left| {\cos x} \right|} + C}

Đáp án A

Chú ý: (tanx)’ = 1 + tan2x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}

Ví dụ: Gọi F là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x . tanx thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}. Giá trị của F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) là bao nhiêu?

A. \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}

B. \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}

C. \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}

D. \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}

Hướng dẫn giải

Ta có: F\left( x \right) = \int {\sin 2x.\tan xdx = } \int {2\sin x.\cos x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx = 2\int {{{\sin }^2}xdx} }

Suy ra F\left( x \right) = \int {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C

Theo giả thiết ta có:

\begin{matrix} F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{\sin 2.\dfrac{\pi }{3}}}{2} + C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{\pi }{3} \hfill \\ \end{matrix}

Vậy F\left( x \right) = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}

Khi đó: F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\sin 2.\left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}

Đáp án D

Ví dụ: Nguyên hàm hàm y = (tanx)8

Hướng dẫn giải

\begin{matrix} I = \int {{{\left( {\tan x} \right)}^8}dx} \hfill \\ = \int {\left[ {{{\left( {\tan x} \right)}^6}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {{\left( {\tan x} \right)}^4}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + {{\left( {\tan x} \right)}^2}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {{\left( {\tan x} \right)}^0}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)} \right]dx} \hfill \\ = \int {\left( {\left[ {{{\left( {\tan x} \right)}^6} - {{\left( {\tan x} \right)}^4} + {{\left( {\tan x} \right)}^2} - {{\left( {\tan x} \right)}^0}} \right]} \right)dx + \int {dx} } \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {\tan x} \right)}^7}}}{7} - \dfrac{{{{\left( {\tan x} \right)}^5}}}{5} + \dfrac{{{{\left( {\tan x} \right)}^3}}}{3} - \dfrac{{\tan x}}{1} + x + C \hfill \\ \end{matrix}

----------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu tới các bạn bài Nguyên hàm lượng giác Toán 12. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 12. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!

Một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ bởi: Khang Anh
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 401
Tìm thêm: Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần