Giaitoan.com Toán 8 Luyện tập Toán 8

Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cô - si Luyện tập toán 8

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Kỹ thuật chọn điểm rơi

Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cô - si đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về bất đẳng thức đáng nhớ. Tài liệu bao gồm công thức hằng đẳng thức, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề bất đẳng thứcToán lớp 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả

1. Bất đẳng thức Cauchy

- Cho n số thực không âm {a_1},{a_2},....,{a_n}\left( {n \ge 2} \right)ta luôn có: \dfrac{{{a_1} + {a_2} + .... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}.{a_2}......{a_n}}}

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi {a_1} = {a_2} = ... = {a_n}

- Một vài hệ quả quan trọng:

  • \left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{a_1}}} + \dfrac{1}{{{a_1}}} + .... + \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) \ge {n^2} với \forall {a_i} \ge 0,i = \overline {1,n}

\left( {\dfrac{1}{{{a_1}}} + \dfrac{1}{{{a_2}}} + .... + \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) \ge \dfrac{{{n^2}}}{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}với \forall {a_i} \ge 0,i = \overline {1,n}

  • Cho 2 n số dương \left( {n \in \mathbb{Z} ,n \ge 2} \right):\,\,{a_1};{a_2};...;{a_n},{b_1};{b_2};...;{b_n} : ta có: \sqrt[n]{{\left( {{a_1} + {b_1}} \right)\left( {{a_2} + {b_2}} \right) + ... + \left( {{a_n} + {b_n}} \right)}} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}} + \sqrt[n]{{{b_1}{b_2}...{b_n}}}

Ví dụ 1: Cho \left\{ \begin{array}{l} a,b > 0\\ a + b \le 1 \end{array} \right.  , tìm GTNN của biểu thức P = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{ab}} + 4ab

Hướng dẫn giải

Do P là biểu thức đối xứng với a,b ta dự đoán min P đạt tại a = b = \dfrac{1}{2} , ta có:

P = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} + \left( {4ab + \dfrac{1}{{4ab}}} \right) + \dfrac{1}{{4ab}} \ge \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 2.\sqrt {4ab.\dfrac{1}{{2ab}}} + \dfrac{1}{{4.{{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)}^2}}} \ge 7

Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 2ab\\ {a^2}{b^2} = \dfrac{1}{{16}}\\ a + b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}

Ví dụ 2: Cho \left\{ \begin{array}{l} x,y,z > 0\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4 \end{array} \right. . Tìm GTLN của P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{x + 2y + z}} + \dfrac{1}{{x + y + 2z}}

Hướng dẫn giải

Dự đoán được maxP đạt được tại x = y = z = \dfrac{4}{3} nên tách các số 2x = x + xđể được dấu bằng xảy ra

Ta có \dfrac{1}{{2x + y + z}} = \dfrac{1}{{x + x + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)

Tương tự ta có:

\dfrac{1}{{x + 2y + z}} = \dfrac{1}{{x + y + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)

\dfrac{1}{{x + y + 2z}} = \dfrac{1}{{x + y + z + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{z}} \right)

Cộng vế với vế ta được P \le \dfrac{1}{{16}}\left[ {\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)} \right] = 1

Vậy maxP = 1 khi x = y = z = \dfrac{4}{3}

Ví dụ 3: Cho \left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ a + b + c = 3 \end{array} \right. . Chứng minh rằng \sqrt[3]{{a + 2b}} + \sqrt[3]{{b + 2c}} + \sqrt[3]{{c + 2a}} \le 3\sqrt[3]{3}

Hướng dẫn giải

Ta có:

\sqrt[3]{{a + 2b}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\sqrt[3]{{3.3.\left( {a + 2b} \right)}} \le \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\dfrac{{3 + 3 + \left( {a + 2b} \right)}}{3} = \frac{{6 + a + 2b}}{{3\sqrt[3]{9}}}

Chứng minh tương tự ta có

\sqrt[3]{{b + 2c}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\sqrt[3]{{3.3.\left( {b + 2c} \right)}} \le \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\dfrac{{3 + 3 + \left( {b + 2c} \right)}}{3} = \frac{{6 + a + 2c}}{{3\sqrt[3]{9}}}

\sqrt[3]{{c + 2a}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\sqrt[3]{{3.3.\left( {c + 2a} \right)}} \le \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\dfrac{{3 + 3 + \left( {c + 2a} \right)}}{3} = \dfrac{{6 + c + 2a}}{{3\sqrt[3]{9}}}

Cộng vế với vế ta được P \le \dfrac{{6 + a + 2b}}{{3\sqrt[3]{9}}} + \dfrac{{6 + c + 2a}}{{3\sqrt[3]{9}}} + \dfrac{{6 + a + 2c}}{{3\sqrt[3]{9}}} = 3\sqrt[3]{3}

. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1

Ví dụ 4: Cho \left\{ \begin{array}{l} x,y,z > 0\\ xyz = 1 \end{array} \right. . Chứng minh rằng \dfrac{{{x^2}}}{{1 + y}} + \dfrac{{{y^2}}}{{1 + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{1 + x}} \ge \dfrac{3}{2}

Hướng dẫn giải

Ta dự đoán dấu “ =” xảy ra khi x = y = z =1. Vì vậy khi áp dụng BĐT Cauchy cho \dfrac{{{x^2}}}{{1 + y}} và \dfrac{{1 + y}}{\alpha } . Ta được \dfrac{{{x^2}}}{{1 + y}} = \dfrac{{1 + y}}{\alpha } \Leftrightarrow \alpha = 4

Ta có:\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{{1 + y}} = \dfrac{{1 + y}}{4} \ge x\\ \dfrac{{{y^2}}}{{1 + z}} = \dfrac{{1 + z}}{4} \ge y\\ \dfrac{{{z^2}}}{{1 + x}} = \dfrac{{1 + x}}{4} \ge z \end{array} \right. \Rightarrow P \ge \left( {x + y + z} \right) - \dfrac{1}{4}\left( {x + y + z} \right) - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\left( {x + y + z} \right) - \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{2}

Dấu “ =”  xảy ra khi x = y = z =1

Hi vọng Chuyên đề Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cô - si là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 8 cũng như ôn luyện cho các kì thi sắp tới. Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Hỏi đáp Toán 8, Lý thuyết Toán 8, Giải Toán 8, Luyện tập Toán 8, ... Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 306
Tìm thêm: Toán 8
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần