Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương Chuyên đề toán 9 luyện thi vào 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

Giải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Phương pháp biến đổi tương đương

Biến đổi tương đương là phương pháp giải hệ dựa trên những kỹ thuật cơ bản như: Thế, biến đổi các phương trình về dạng tích, cộng trừ các phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả có dạng đặc biệt….

2. Các bài toán về giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - 2y} + \sqrt {5 + 2y - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} = 5\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\ {3{x^4} + {{\left( {x - y} \right)}^2} = 6{x^3}y + {y^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 1\\ y \le 2\\ 5 + 2y \ge {\left( {x - 1} \right)^2} \end{array} \right.

Từ (2) ta có: 

\begin{array}{l} 3{x^4} + {\left( {x - y} \right)^2} - 6{x^3}y - {y^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^3}\left( {x - 2y} \right) + x\left( {x - 2y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2y} \right)\left( {3{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2y \end{array} \right. \end{array}

Với thay vào phương trình (1) ta có:1 + \sqrt {4 - 2y} + \sqrt {4 + 2y} = 5\, \Leftrightarrow \sqrt {4 - 2y} + \sqrt {4 + 2y} = 4

Theo bất đẳng thức Caychy-Schwarz ta có:\begin{array}{l} {\left( {\sqrt {4 - 2y} + \sqrt {4 + 2y} } \right)^2} \le 2\left( {4 - 2y} \right)\left( {4 + 2y} \right) = 16\\ \Leftrightarrow \sqrt {4 - 2y} + \sqrt {4 + 2y} \le 4 \end{array}

Dấu bằng xảy ra khi \left( {4 - 2y} \right) = \left( {4 + 2y} \right) \Leftrightarrow y = 0. Hệ có nghiệm \left( {0;0} \right)

Với x = 2y. Thay vào phương trình trên ta được

\begin{array}{l} \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} + \sqrt {5 + x - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} = 5\\ \, \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} + \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = 5\left( * \right) \end{array}

Đặt

\begin{array}{l} t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} > 0\\ \, \Rightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = \frac{{{t^2} - 5}}{2} \end{array}

Thay vào phương trình ta đượct + \frac{{{t^2} - 5}}{2} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 3 \end{array} \right.

Khit = 3 \Rightarrow \sqrt {x + 1} .\sqrt {4 - x} = 2 \Leftrightarrow - {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {3;\frac{3}{2}} \right)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 12x = {y^3} - 6{y^2} + 16\\ {x^2} + {y^2} + xy - 4x - 6y + 9 = 0 \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Viết lại hệ phương trình

\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 12x = {\left( {y - 2} \right)^3} - 12\left( {y - 2} \right)\\ {x^2} + x\left( {y - 4} \right) + {\left( {y - 3} \right)^2} = 0 \end{array} \right.

Đặt  t = y - 2. Ta có hệ phương trình

\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 12x = {t^3} - 12t\\ {x^2} + x\left( {t - 2} \right) + {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - t} \right)\left( {{x^2} + xt + {t^2} - 12} \right) = 0\,\,\left( * \right)\\ {x^2} + xt + {t^2} - 2\left( {x + t} \right) + 1 = 0\,\,\,\,\left( {**} \right) \end{array} \right.

Từ \left( * \right) suy ra

\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xt + {t^2} - 12 = 0\\ x - t = 0 \end{array} \right.\left( {***} \right)

Với thay vào (**) ta có phương trình 3{x^2} - 4x + 1 = 0 . Từ đây suy ra 2 nghiệm của hệ là \left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right),\left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3}} \right)

Với (***) kết hợp với (**) ta có hệ

\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + t} \right)^2} - xt - 12 = 0\,\,\\ {\left( {x + t} \right)^2} - xt - 2\left( {x + t} \right) + 1 = 0\,\,\,\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + t = \dfrac{{13}}{2}\\ xt = \dfrac{{121}}{4} \end{array} \right.\,\,\left( {VN} \right)

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm \left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right),\left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3}} \right)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} 2xy - x + 2y = 3\\ {x^3} + 4{y^3} = 3x + 6{y^2} - 4 \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Đưa hệ phương trình về dạng:

\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {2y - 1} \right) = 2\\{\left( {x + 1} \right)^3} + \dfrac{1}{2}{\left( {2y - 1} \right)^3} = 3{\left( {x + 1} \right)^2} + \dfrac{3}{2}\left( {2y - 1} \right) - 5\end{array} \right.

Đặt: \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + 1} \right) = a\\ \left( {2y - 1} \right) = b \end{array} \right.. Khi đó ta có hệ phương trình sau:

\left\{ \begin{array}{l} ab = 2\\ {a^3} + \dfrac{1}{2}{b^3} = 3{a^2} + \dfrac{3}{2}b - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} ab = 2\\ 2{a^3} + {b^3} = 6{a^2} + 3b - 10 \end{array} \right.

.Từ hệ phương trình ban đầu ta nhẩm được nghiệm nênx = y = 1 ta sẽ có hệ này có nghiệm khi a=2;b=1. Do đó ta sẽ phân tích hệ về dạng

\left\{ \begin{array}{l} \left( {a - 2} \right).b = 2.\left( {1 - b} \right)\\ {\left( {a - 2} \right)^2}.\left( {a + 1} \right) = {\left( {b - 1} \right)^2}\left( {b + 2} \right) \end{array} \right.

Vì ta luôn có b \ne 0  nên từ phương trình trên ta rút ra

a - 2 = \frac{{2\left( {1 - b} \right)}}{b}

Thế xuống phương trình dưới ta được:

\begin{array}{l} \dfrac{{4{{\left( {b - 1} \right)}^2}}}{{{b^2}}}\left( {a + 1} \right) = {\left( {b - 1} \right)^2}\left( {b + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2}\left[ {4\left( {a + 1} \right) - {b^2}\left( {b + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 1\\ 4\left( {a + 1} \right) = {b^2}\left( {b + 2} \right) \end{array} \right. \end{array}

Với b = 1 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow x = y = 1

Với 4\left( {a + 1} \right) = {b^2}\left( {b + 2} \right)  . Ta lại cóab = 2 \Leftrightarrow b\left( {a + 1} \right) = b + 2 \Leftrightarrow a + 1 = \dfrac{{b + 2}}{b}

Thế lên phương trình trên ta có:

\begin{array}{l} \dfrac{{4\left( {b + 2} \right)}}{b} = {b^2}\left( {b + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = - 2 \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}\\ {b^3} = 4\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \end{array} \right. \end{array}

Vậy hệ đã cho có nghiệm là

\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 2; - \dfrac{1}{2}} \right)

3.Bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

\begin{array}{l} a)\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - \left( {2y + 2} \right)x - 3{y^2} = 0\\ {x^2} + 2x{y^2} - \left( {y + 3} \right)x - 2{y^3} - 6y + 1 = 0 \end{array} \right.\\ b)\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2xy + 2{y^2} + 2y = 0\\ {x^3} - {x^2}y + 2{y^2} + 2y - 2x = 0 \end{array} \right.\\ c)\,\,\left\{ \begin{array}{l} x{y^2} - 3{x^3}y - 4y{x^2} - y + 3{x^2} = 0\\ 3{x^2}y + 3yx - {y^2} + 1 = 0 \end{array} \right. \end{array}

-------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Luyện tập Toán 9
Giải bài tập SGK Toán 9
Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 608
Tìm thêm: toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

Chủ đề liên quan

Mới nhất trong tuần