Cho tam giác ABC vuông tại A Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH

Mời các bạn tham khảo tài liệu Chuyên đề Tam giác vuông Toán 7 do GiaiToan.com biên soạn và đăng tải sau đây. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích cho các em học sinh lớp 7 ôn tập và nâng cao kiến thức môn Toán 7.

A. Kiến thức cần nhớ Tam giác vuông, Tam giác vuông cân

- Tam giác vuông: là tam giác có một góc bằng 90⁰

- Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân.

- Tính chất của tam giác vuông cân:

+ Tính chất 1: Tam giác vuông cân có hai góc nhọn ở đáy bằng nhau và bằng 45⁰

+ Tính chất 2: Các đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác kẻ từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông cân trùng nhau và bằng 1 nửa cạnh huyền.

+ Định lý Pi – ta – go: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
+ Định lí Pi – ta - go đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

B. Cách chứng minh tam giác là tam giác vuông

Cách 1: Chứng minh tam giác đó có 2 góc nhọn phụ nhau. (tức tổng hai góc nhọn phụ nhau bằng 90⁰)

Cách 2: Chứng minh tam giác đó có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh còn lại của tam giác. (Sử dụng định lý Py - ta - go đảo)

Cách 3: Chứng minh tam giác đó có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy.

Cách 4: Chứng minh tam giác đó nội tiếp đường tròn và có 1 cạnh là đường kính.

C. Bài tập trắc nghiệm về tam giác vuông

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết số đo góc C bằng . Số đo góc B bằng?

Câu 2: Cho tam giác MNP cân tại P. Biết góc N có số đo bằng 50 độ. Số đo góc P bằng?

Câu 3: Cho tam giác HIK vuông tại H có các cạnh góc vuông là 3cm; 4cm. Độ dài cạnh huyền IK bằng?

Câu 4: Trong các tam giác có kích thước sau đây, tam giác nào là tam giác vuông?

Câu 5: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có AB = ED, BC = EF. Thêm điều kiện nào để ABC = DEF?

A.

B.

C.

D.

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = 3 cm, BC = 5 cm Tính độ dài AC?

Câu 7: Tam giác ABC vuông tại B suy ra:

C. Bài tập tự luận tam giác vuông

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm.

a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b. Vẽ phân giác BE của góc B (E thuộc AC), từ E kẻ EP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh EA = EP.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến các đỉnh của tam giác.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC cắt AC tại N.

a. Tính độ dài cạnh BC.

b. Chứng minh góc CBN bằng góc NCB.

c. Trên tia đối của tia NB lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh rằng tam giác BEC vuông.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, BC = 13cm.

a. Tính AC.

b. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính AH, BH, CH.

c. Gọi M là trung điểm BC. Tính AM.

d. Trên tia đối tia MA lấy E sao cho ME = MA. Chứng minh BE = AC và BE // AC.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A.
a. Tính AC biết AB = 5cm và BC = 13cm.

b. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua E cắt AC tại I sao cho IE vuông góc với BC tại E. So sánh góc ABI và góc CBI.

c. Nếu tam giác ABC có góc A = 30^O và EC = 6cm. Tính chu vi của tam giác ABC.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc BC.

a. Chứng minh .

b. Trên AB lấy E trên AC lấy F. Chứng minh EF < BC.

c. Biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH, BH, CH.

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, AC = 5cm. Trên tia đối tia HA lấy điiểm E. sao HE = HA. Chứng minh rằng:

a. Tam giác ABC vuông tại A.

b. BA = BE.

c. CH là tia phân giác góc ACE.

d. Tam giác BEC vuông.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng cắt hai cạnh AB và AC ở D và E. Chứng minh .

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AC tại E. Trên AB lấy điểm F sao cho AF = AE. Chứng minh rằng:

a) .

b) Tam giác DBF là tam giác cân.

c) DB = DE.

Bài 10: Cho tam giác ABC, từ A kẻ AH vuông góc với BC tại H, biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, HC = 8cm.

a) Tính độ dài cạnh AB và AC.

b) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.

Bài 11: Cho tam giác MNP có MN = 2,4cm; NP = 4cm; MP = 3,2cm.

a) Chứng minh rằng tan giác MNP là tam giác vuông.

b) Gọi G là trọng trung điểm của cạnh MN, H là trung điểm của cạnh MP. Tính độ dài GH.

Bài 12: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, BC = 13cm

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

b) Trên tia AB lấy điểm I sao cho B là trung điểm của cạnh AI. Tính độ dài đoạn thẳng BC.

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, Tia phân giác của góc B cắ AC tại I. Vẽ IH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi K là giao điểm của IH và AB.

a) Chứng minh rằng: AI = HI.

b) Chứng minh tam giác IKC cân.

c) Cho BH = 6cm, HC = 4cm. Tính AB và AC.

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB= 3cm, AC = 4cm.

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Gọi M là trung điểm của AC. Trên tia đối của MB lầ điểm D sao cho MB = MD. Chứng minh: Hai tam giác ABM và tam giác CDM bằng nhau. Từ đó suy ra DC vuông góc với AC

c) Gọi N là trung điểm của DC, BN cắt AC tại H. Tính độ dài CH.

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60⁰. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc ABC bằng 3 lần góc ABD. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho góc ACB bằng 3 lần góc ACE. Gọi F là giao điểm của BD và CE. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ F xuống BC và AC. Lấy hai điểm G và H trên các tia FI và FK sao cho I là trung điểm của FG và K là trung điểm của FH. Chứng minh rằng đường thẳng HG đi qua điểm D.

Bài 13: Cho tam giác ABC có H là trực tâm, G là trọng tâm và O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng HG = 2 OG.

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và CH. Chứng minh BM vuông góc với AN.

Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác ABH và tam giác ACH. Gọi E là giao điểm của BI và AJ. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABE vuông.

b) IJ vuông góc với AD.

Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.

a) Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác ADC. Từ đó suy ra tam giác BCD cân.

b) Cho M là trung điểm của CD. Qua D vẽ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt tia BM tại K. Chứng minh rằng BC = DK và BC + BD > BK

c) Biết AK cắt DM tại E. Chứng minh BC = 3DE.

Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng cắt hai cạnh AB và AC tại D và E. Chứng minh rằng CD² - CB² = ED² - EB².

Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, có J là trung điểm BC. Từ J kẻ IJ vuông góc với cạnh AC tại I. Lần lượt lấy các điểm M, N trên cạnh AC sao cho AM = CN.

a) Chứng minh IJ là trục đối xứng của đoạn thẳng AC.

b) Chứng minh hai điểm M, N đối xứng với nhau qua đường thẳng IJ.

---------------------------------------------

Chuyên đề về tam giác là một nội dung được học trong chương trình Toán 7 học kì 2. Đây cũng là phần kiến thức thường xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra môn Toán lớp 7, chính vì vậy việc nắm vững các kiến thức về tam giác là rất quan trọng giúp các em học sinh có thể đạt điểm cao trong các bài thi của mình. Hy vọng tài liệu trên sẽ giúp các em học sinh ghi nhớ lý thuyết về tam giác từ đó vận dụng giải các bài toán về tam giác một cách dễ dàng hơn. Chúc các em học tốt.

Ngoài ra GiaiToan mời thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số tài liệu học tập liên quan:

• Tính chất ba đường trung trực của tam giác
• Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước
• Chứng minh đa thức không có nghiệm
• Chứng minh trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông
• Cho biết x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận, khi x = 10 thì y = 5. Vậy khi x=-5 thì y=?
• Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x được xác định như thế nào?
• Bài tập Toán 7 Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn