Giaitoan.com Toán 8 Luyện tập Toán 8

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông Luyện tập Toán 8

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài tập Toán 9: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông là một dạng toán hình xuất hiện nhiều trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1.Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia

+ Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông vủa tam giác vuông kia

+ Nếu cạnh huyền và một góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng

2. Bài tập chứng minh tam giác đồng dạng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

a) Chứng minh EA. EB = ED. EC

b) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cạnh AC thì tổng BM. BD + CM. Ca có giá trị không đổi

c) Kẻ DH \bot BC\left( {H \in BC} \right)  . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh  CQ \bot PD

Hướng dẫn giải

a) Xét \Delta EBD và \Delta ECA có:

\widehat {ADB} = \widehat {EAC} = {90^ \circ }

\widehat {BEC}là góc chung

\Delta EBDđồng dạng \Delta ECA ( g – g )  \Rightarrow \dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{ED}}{{EA}} \Rightarrow EB.EA = EC.ED

b) Kẻ MI \bot BC\left( {I \in BC} \right)

Xét  \Delta BIMvà \Delta BDC có:

\widehat {BIM} = \widehat {BDC} = {90^ \circ }

\widehat {MBC} là góc chung

\Delta BIMđồng dạng\Delta BDC \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{{BI}}{{BD}} \Rightarrow BM.BD = BC.BI\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)

Tương tự ta có: \Delta ACB đồng dạng  \Delta ICM\Rightarrow \dfrac{{CM}}{{BC}} = \dfrac{{CI}}{{AC}} \Rightarrow CM.CA = CI.BC\,\,\,\,\left( 2 \right)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, ta được:BM.BD + CM.CA = BC.BI + CI.BC\, = BC.\left( {BI + CI} \right) = B{C^2}

( không đổi)

Ta có được \Delta BHDvà  \Delta DHC(g – g ) \Rightarrow \frac{{BH}}{{DH}} = \dfrac{{HD}}{{HC}} \Rightarrow \dfrac{{2HP}}{{2HQ}} = \dfrac{{HD}}{{HC}} \Rightarrow \dfrac{{HP}}{{HQ}} = \dfrac{{HD}}{{HC}}

\Delta HPDđồng dạng  \Delta HQC\,\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {PDH} = \widehat {QCH}

Mà \widehat {HDP} + \widehat {DPC} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {HCQ} + \widehat {DPC} = {90^ \circ } \Rightarrow CQ \bot PD:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. trên AB lấy điểm D và trên BC lấy điểm E sao cho hình chiếu của DE lên BC bằng  \dfrac{1}{2}BC. Chứng minh rằng đường vuông góc với DE tại E luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn giải

Gọi M, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của D và A lên BC.

Giả sử đường thẳng qua E vuông góc với DE cắt đường thẳng AH tại N

Ta có BH = \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow BM = HE

Mặt khác ta có:  \widehat {HNE} = \widehat {MED}( cùng phụ với \widehat {HEN} )

\widehat {DME} = \widehat {NHE} \Rightarrow \dfrac{{2HN}}{{BC}} = \dfrac{{HE}}{{DM}} \Rightarrow \dfrac{{2HN}}{{BC}} = \dfrac{{BM}}{{DM}}

Mặt khác \dfrac{{BM}}{{DM}} = \dfrac{{BH}}{{HA}} \Rightarrow \dfrac{{2HN}}{{BC}} = \dfrac{{BH}}{{HA}} \Rightarrow HN = \dfrac{{BH.BC}}{{2.HA}}

Vậy N là điểm cố định

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hình chữ nhật MNPQ thay đổi thỏa mãn M thuộc canh AB, N thuộc cạnh AC và P, Q thuộc cạnh BC. Gọi giao điểm của BN với MQ là K, của CM và NQ là L. Chứng minh rằng \widehat {KAB} = \widehat {LAC}

Hướng dẫn giải

Lấy U, V theo thứ tự thuộc AK, AL sao cho \widehat {ABU} = \widehat {ACV} = {90 }. Ta có:

NA // BU \Rightarrow \frac{{BU}}{{NA}} = \dfrac{{BK}}{{NK}}\left( 1 \right)

MN // BC \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{MA}} = \frac{{BK}}{{NK}}\left( 2 \right)

MA // VC \Rightarrow \frac{{MA}}{{CV}} = \frac{{ML}}{{CL}}\left( 3 \right)

Từ (1) ; (2) ; (3) suy ra:

\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BU}}{{NA}}.\dfrac{{NA}}{{MA}}.\dfrac{{MA}}{{CV}} = \dfrac{{BK}}{{NK}}.\dfrac{{BK}}{{NK}}.\dfrac{{ML}}{{CL}}\\ \Rightarrow \dfrac{{BU}}{{CV}} = \dfrac{{BQ}}{{MN}}.\dfrac{{CA}}{{BA}}.\dfrac{{MN}}{{CP}} = \dfrac{{BQ.CA}}{{BA.CP}} = \dfrac{{BQ}}{{MQ}}.\dfrac{{CA}}{{BA}}.\dfrac{{NP}}{{CP}}\\ \Rightarrow \dfrac{{BU}}{{CV}} = \dfrac{{BA}}{{CA}}.\dfrac{{CA}}{{BA}}.\dfrac{{BA}}{{CA}} \end{array}

Hay \dfrac{{BU}}{{CV}} = \dfrac{{BA}}{{CA}} và \widehat {ABU} = \widehat {ACV} = {90^ \circ }

Nên \Delta ABU đồng dạng \Delta ACV\left( {c - g - c} \right)

Vậy \widehat {KAB} = \widehat {LAC}

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một hình vuông nội tiếp tam giác ABC với D thuộc cạnh AB, E thuộc AC và F, G thuộc canh BC. Gọi H là giao điểm của BE và DG, I là giao điểm của CD và EF. Chứng minh rằng IE = HG

Hướng dẫn giải

Ta có \widehat {ADE} + \widehat {EDG} + \widehat {BDG} = {180^ \circ }mà \widehat {EDG} = {90^ \circ }

Nên \widehat {ADE} + \widehat {BDG} = {90^ \circ }

Mặt khác ta có: \widehat {ADE} + \widehat {AED} = {90^ \circ }

Nên \widehat {BDG} = \widehat {AED}

\Rightarrow \Delta BGD đồng dạng  \Delta DAE\left( {g - g} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)

Chứng minh tương tự ta được: \Delta EFCđồng dạng \Delta DAE\left( {g - g} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)

Từ (1) và (2) suy ra: \Delta BGD đồng dạng \Delta EFC \Rightarrow \dfrac{{BG}}{{DG}} = \dfrac{{EF}}{{FC}}\left( 3 \right)

Sử dụng định lý Ta – let trong tam giác BHG ta có:

DE//BG \Rightarrow \frac{{GH}}{{HD}} = \frac{{BG}}{{ED}}

Mà DG = DE nên \dfrac{{GH}}{{HD}} = \dfrac{{BG}}{{DG}}\left( 4 \right)

Tương tự ta có:\dfrac{{IE}}{{EF}} = \dfrac{{ED}}{{FC}} = \dfrac{{FE}}{{CF}}\left( 5 \right)

Từ (3), (4),(5) ta có: \dfrac{{GH}}{{HD}} = \dfrac{{IE}}{{IF}} suy ra \dfrac{{GH}}{{GH + HD}} = \dfrac{{IE}}{{\,IF + IE}}

Hay \dfrac{{GH}}{{DG}} = \dfrac{{IE}}{{EF}}. Mà DG = EF nên ta có HG = IE

Hy vọng tài liệu Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức chuyên đề Đường tròn đồng thời học tốt môn Toán lớp 8. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Luyện tập Toán 8
Giải bài tập SGK Toán 8
Đề thi giữa học kì môn Toán 8

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 21
Tìm thêm: Toán 8
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần