Giaitoan.com Toán 12

Biểu diễn hình học của số phức (tiếp theo) Luyện tập Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Biểu diễn hình học của số phức (tiếp theo)

Bài tập số phức biểu diễn hình học của số phức (tiếp theo) đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi số phức lớp 12. Tài liệu bao gồm định nghĩa, công thức, cách biểu diễn và tính chất của số phức cùng với đó là các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Số phức. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Biểu diễn hình học của số phức

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức \omega biết \omega = {z_1}z + {z_2}và số phức z thỏa mãn \left| {z - a - bi} \right| = R

2. Cách biểu diễn hình học của số phức

- Ta có:

\begin{array}{l} z = \frac{{\omega - {z_2}}}{{{z_1}}} \Rightarrow \left| {z - a - bi} \right| = R \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\omega - {z_2}}}{{{z_1}}} - a - bi} \right| = R\\ \Leftrightarrow \left| {\omega - {z_2} - {z_1}\left( {a\_ + bi} \right)} \right| = R\left| {{z_1}} \right| \end{array}

- Tập hợp điểm biểu diễn \omega là đường tròn bán kính R\left| {{z_1}} \right|

- Tổng quát:

+ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức \omega biết \omega = {z_1}z + {z_2} và số phức z thỏa mãn  \left| {z{z_0} - a - bi} \right| = R ( thêm yếu tố {z_0}  )

Phương pháp giải

- Ta có:

\begin{array}{l} z = \dfrac{{\omega - {z_2}}}{{{z_1}}} \Rightarrow \left| {z{z_0} - a - bi} \right| = R \Leftrightarrow \left| {{z_0}} \right|\left| {\dfrac{{\omega - {z_2}}}{{{z_1}}} - \dfrac{{a - bi}}{{{z_0}}}} \right| = R\\ \Leftrightarrow \left| {\omega - {z_2} - \dfrac{{{z_1}\left( {a + bi} \right)}}{{{z_0}}}} \right| = \dfrac{{R\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_0}} \right|}} \end{array}

  • Tập hợp điểm biểu diễn \omega là đường tròn bán kính \dfrac{{R\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_0}} \right|}}

3. Bài tập biểu diễn hình học của số phức

Ví dụ 1: Cho các số phức z thỏa mãn \left| z \right| = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \omega = \left( {3 + 4i} \right)z + ilà một đường tròn. Tìm bán kính của đường tròn đó ( Trích đề minh họa BGD& ĐT 2017)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{array}{l} z = \dfrac{{\omega - i}}{{\left( {3 + 4i} \right)}} \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\dfrac{{\omega - i}}{{\left( {3 + 4i} \right)}}} \right| = \dfrac{{\left| {\omega - i} \right|}}{{\left( {{3^2} + {4^2}} \right)}} = \dfrac{{\left| {\omega - i} \right|}}{5} = 4\\ \Leftrightarrow \left| {\omega - i} \right| = 20 \end{array}

Tập hợp biểu diễn số phức là đường tròn I (0;1) và r = 20

Ví dụ 2: Tìm bán kính của đường tròn biểu diễn số phức  \omega biết \left| z \right| = 2 và số phức \omega thỏa mãn i\overline \omega = \left( {3 - 4i} \right)z + 2i

Hướng dẫn giải

Ta có: \left| {i\overline \omega - 2i} \right| = \left| {\left( {3 - 4i} \right)z} \right| = \left| {\left( {3 - 4i} \right)} \right|\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} \left| z \right| = 5.2 = 10

Do đó: \left| {i\left( {\overline \omega - 2} \right)} \right| = 10 = \left| i \right|\left| {\overline \omega - 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {\overline \omega - 2} \right| = 10

Đặt \omega = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R} } \right) thì \left| {x - yi - 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} = 100  . Vậy bán kính đường tròn cần tìm là 10

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn \left| {\dfrac{{3 - i}}{{1 - 2i}}z + 2} \right| = 10 . Tìm bán kính của đường tròn biểu diễn số phức \omega  thỏa mãn: \left( {1 + i} \right)\omega - iz + 1 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{array}{l} \left| {\dfrac{{3 - i}}{{1 - 2i}}z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{5 + 5i}}{{{1^2} + {2^2}}}z + 2} \right| = 10\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{5 + 5i}}{5}z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {\left( {1 + i} \right)z + 2} \right| = 10\\ \Leftrightarrow \left| {1 + i} \right|\left| {z + 1 - i} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {z + 1 - i} \right| = 5\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \end{array}

Lại có: \left( {1 + i} \right)\omega - iz + 1 = 0 \Leftrightarrow z = \dfrac{{\left( {1 + i} \right)\omega + 1}}{i} = \dfrac{{\left( {\left( {1 + i} \right)\omega + 1} \right)\left( i \right)}}{{ - 1}} = \left( {1 - i} \right)\omega - i

Thế vào 1 ta được:

\begin{array}{l} \left| {\left( {1 - i} \right)\omega - i + 1 - i} \right| = 5\sqrt 2 \,\,\, \Leftrightarrow \left| {\left( {1 - i} \right)\omega + 1 - 2i} \right| = 5\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {1 - i} \right|\left| {\omega - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i} \right| = 5\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {\omega - \frac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i} \right| = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{\left| {1 - i} \right|}} = \left| {\omega - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i} \right| = 5 \end{array}

Vậy bán kính của đường tròn phải tìm là 5

--------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Số phức là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 09
Tìm thêm: Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần