Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Luyện thi vào lớp 10 môn Toán

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được GiaiToan biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Phương pháp tìm hệ thức liên hệ giữa của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm {x_1};{x_2}

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} \end{array} \right.

Bước 3: Biến đổi kết quả thành 1 biểu thức không chứa tham số

II. Bài tập tìm hệ thức liên hệ giữa của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số

Ví dụ 1: Cho phương trình: {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\begin{array}{l} \Delta = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2}\\ \Delta = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} = 2m + 1 \end{array}

Để phương trình có nghiệm thì 2m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{1}{2}

b) Áp dụng hệ thức Vi – et ta có:

\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1 = m\\ {x_1}.{x_2} = {\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1} \right)^2}\left( {\,*} \right) \end{array} \right.

Biến đổi (* ) ta được:

\begin{array}{l} {x_1}.{x_2} = {\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1} \right)^2} \Rightarrow {x_1}.{x_2} = {\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{2}} \right)^2}\\ \Rightarrow {2^2}{x_1}.{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right)^2} \Rightarrow 4{x_1}.{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right)^2} \end{array}

Vậy 4{x_1}.{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right)^2}  là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Câu 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình m{x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m - 4 = 0 không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn giải

Với m = 0thì: 0{x^2} - \left( {2.0 + 3} \right)x + 0 - 4 = 0 \Rightarrow - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{4}{3}

Với  m \ne 0 thì \begin{array}{l} \Delta = \,{\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 4} \right)\\ = 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} + 16m = 28m + 9 \end{array}

Để phương trình có nghiệm thì:

28m + 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{9}{{28}}

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{m}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = 1 - \frac{4}{m}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4\left( {2 + \dfrac{3}{m}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\3.{x_1}.{x_2} = 3.\left( {1 - \dfrac{4}{m}} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}

Cộng (1) với (2) ta được

\begin{array}{l} 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2} = 3.\left( {1 - \dfrac{4}{m}} \right)\, + 4\left( {2 + \dfrac{3}{m}} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2} = 3 - \dfrac{{12}}{m} + 8 + \dfrac{{12}}{m} = 11 \end{array}

-------------------------------------------------------

Ngoài chuyên đề Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu học tập lớp lớp 9 mà chúng tôi đã biên soạn và được đăng tải trên GiaiToan. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, chuẩn bị tốt hành trang cho kì thi tuyển sinh vào 10 sắp tới. Chúc các bạn học tập tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 88
Tìm thêm: Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần