Giaitoan.com Toán 12 Chuyên đề Toán 12

Tìm GTLN, GTNN môđun số phức bằng phương pháp đánh giá môđun Luyện tập Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Tìm GTLN, GTNN môđun số phức bằng phương pháp đánh giá môđun

Bài tập số phức tìm GTLN, GTNN môđun số phức bằng phương pháp đánh giá môđun đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi số phức lớp 12. Tài liệu bao gồm định nghĩa, công thức, cách biểu diễn và tính chất của số phức cùng với đó là các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Số phức. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Cách tìm GTLN, GTNN môđun số phức bằng phương pháp đánh giá môđun

- Vận dụng các phép đánh giá

+ \left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| . Dấu “ =’’ xảy ra khi {z_1} = k{z_2} với k \ge 0

+\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| . Dấu “ =’’ xảy ra khi {z_1} = k{z_2} với k \ge 0

+\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \ge \left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right| . Dấu “ =’’ xảy ra khi  {z_1} = k{z_2} với k \ge 0

+ \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right| . Dấu “ =’’ xảy ra khi  {z_1} = k{z_2} với k \ge 0

2. Bài tập tìm GTLN, GTNN môđun số phức bằng phương pháp đánh giá môđun

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn \left| {{z^2} - i} \right| = 1 . Tính giá trị lớn nhất của \left| {\overline z } \right|

Hướng dẫn giải

Ta có:\left| {{z^2} - i} \right| \ge \left| {{z^2}} \right| - \left| i \right| = {\left| z \right|^2} - 1  . Do đó {\left| z \right|^2} - 1 \le 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le \left| z \right| \le \sqrt 2

Với z = 1 + i , ta có \left| {{z^2} - i} \right| = \left| i \right| = 1 và  {\left| z \right|} = \sqrt 2

Do đó: \left| {{{\overline z }_{max}}} \right| = \left| {{z_{max}}} \right| = \sqrt 2

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z là số thực và \omega = \dfrac{z}{{4 + {z^2}}} là số thưc. Tìm GTLN của biểu thức P = \left| {z + 1 - i} \right|

Hướng dẫn giải

Ta có: \omega = \dfrac{z}{{4 + {z^2}}} \Leftrightarrow \omega \left( {4 + {z^2}} \right) = z \Leftrightarrow {z^2} - \dfrac{1}{\omega }z + 4 = 0\,\,\left( * \right)

(*) là phương trình bậc hai với hệ số thực  \dfrac{1}{\omega } \in \mathbb{R}. Vì z thỏa mãn (*) nên z là nghiệm nghiệm của phương trình (*)

Gọi {z_1};{z_2} là hai nghiệm của phương trình

Theo hệ thức Vi – ét ta được:

\begin{array}{l} {z_1}.{z_2} = 4 \Rightarrow \left| {{z_1}.{z_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right| = 4 \Rightarrow \left| z \right| = 2\\ \Rightarrow P = \left| {z + 1 - i} \right| \le \left| z \right| + \left| {1 - i} \right| = 2 + \sqrt 2 \end{array}

Dấu “ =’’ xảy ra khi z = 1 – i

Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức P = \left| {\dfrac{{z + i}}{z}} \right|biết  \left| z \right| \ge 3

Hướng dẫn giải

Ta có: P = \left| {\dfrac{{z + i}}{z}} \right| = \left| {1 + \dfrac{i}{z}} \right| \le \left| 1 \right| + \left| {\dfrac{i}{z}} \right| = \left| 1 \right| + \dfrac{{\left| i \right|}}{{\left| z \right|}} = 1 + \dfrac{1}{3} = \frac{4}{3}

Vậy GTLN của P là \dfrac{3}{2} khi z = 3i

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn\left| z \right| = 1  . Tìm GTLN và GTNN của biếu thức M = \left| {{z^2} + z + 2} \right| + \left| {{z^3} + 2} \right|

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{array}{l} M = \left| {{z^2} + z + 2} \right| + \left| {{z^3} + 2} \right| \Rightarrow M \le \left| {{z^2}} \right| + \left| z \right| + 2 + \left| {{z^3}} \right| + 2\\ M \le {\left| z \right|^2} + \left| z \right| + 2 + {\left| z \right|^3} + 2 = 7 \Rightarrow {M_{max}} = 7 \end{array}

Mặt khác: M = \dfrac{{\left| {2 - {z^3}} \right|}}{{\left| {2 - z} \right|}} + \left| {2 + {z^3}} \right| \ge \dfrac{{\left| {2 - {z^3}} \right|}}{2} + \dfrac{{\left| {2 + {z^3}} \right|}}{2} \ge \dfrac{{\left| {2 - {z^3} + 2 + {z^3}} \right|}}{2} = 2

Khi z{\rm{ }} = {\rm{ }} - 1 \Rightarrow M = 1 \Rightarrow {M_{min}} = 2

--------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Số phức là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 19
Tìm thêm: Toán 12 Bài tập Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần