Giaitoan.com Toán 12

Phương trình bậc hai số phức Luyện tập Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Phương trình bậc hai số phức

Cách giải phương trình bậc hai số phức đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán Số phức lớp 12. Tài liệu bao gồm công thức số phức, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình số phức lớp 12. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình a{x^2} + bx + c = 0với a,b,c \in \mathbb{R} và  a \ne 0. Đặt \Delta = {b^2} - 4ac. Khi đó:

a) Nếu \Delta \ge 0 thì phương trình có nghiệm {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}

b) Nếu \Delta < 0  thì phương trình có nghiệm  {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm i\sqrt \Delta }}{{2a}}

c) Nếu \Delta = 0  thì phương trình có nghiệm {x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}

2. Phương trình bậc hai với hệ số phức

Xét phương trình: a{x^2} + bx + c = 0 với a,b,c \in \mathbb{C} và a \ne 0  . Đặt \Delta = {b^2} - 4ac = m \pm ni

Gọi \varphi là một căn bậc hai của . Ta có: \varphi = \sqrt {\dfrac{{\left| \Delta \right| + m}}{2}} + i\sqrt {\dfrac{{\left| \Delta \right| - m}}{2}}với \left| \Delta \right| = \sqrt {{m^2} + {n^2}}

Vậy công thức nghiệm của phương trình là {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \varphi }}{{2a}}

3.Bài tập phương trình bậc hai số phức

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức

\begin{array}{l} a)\,{z^2} - 2z + 4 = 0\\ b)\,{z^2} - \left( {3 - i} \right)z + 4 - 3i = 0\\ c)\,{z^2} + 3\left( {1 + i} \right)z + 5i = 0\\ d)\,{z^2} + \left( {1 - 2i} \right)z - 1 - i = 0 \end{array}

Hướng dẫn giải

a)\,{z^2} - 2z + 4 = 0

Ta có:  {\Delta ^\prime } = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 = - 3 = {\left( {\sqrt 3 i} \right)^2}

Vậy phương trình có 2 nghiệm {z_1} = 1 + i\sqrt 3 và  {z_1} = 1 - i\sqrt 3

b)\,{z^2} - \left( {3 - i} \right)z + 4 - 3i = 0

Ta có: \Delta = {\left( {3 - i} \right)^2} - 4\left( {4 - 3i} \right) = 8 - 6i - 16 + 12i = - 8 + 6i = {\left( {1 + 3i} \right)^2}

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: \left[ \begin{array}{l} {z_1} = \dfrac{{\left( {3 - i} \right) + 1 + 3i}}{2} = 2 + i\\ {z_1} = \dfrac{{\left( {3 - i} \right) - 1 - 3i}}{2} = 1 - 2i \end{array} \right.

c)\,{z^2} + 3\left( {1 + i} \right)z + 5i = 0

Ta có: \Delta = {\left( {3 + 3i} \right)^2} - 4.5i = - 2i = {\left( {1 - i} \right)^2}

Vậy phương trình có 2 nghiệm \left[ \begin{array}{l} {z_1} = \dfrac{{ - 3\left( {1 + i} \right) + 1 - i}}{2} = - 1 - 2i\\ {z_1} = \dfrac{{ - 3\left( {1 + i} \right) - 1 + i}}{2} = - 2 - i \end{array} \right.

d)\,{z^2} + \left( {1 - 2i} \right)z - 1 - i = 0

Ta có: \Delta = {\left( {1 - 2i} \right)^2} - 4\left( { - 1 - i} \right) = 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm  \left[ \begin{array}{l} {z_1} = \dfrac{{ - \left( {1 - 2i} \right) + 1}}{2} = i\\ {z_1} = \dfrac{{ - 3\left( {1 + i} \right) - 1 + i}}{2} = - 1 + i \end{array} \right.

Ví dụ 2: Cho phương trình phức: {z^2} + az + b = 0\,\,\left( {a,b \in } \right)(1) có một nghiệm là 1+ 2i. Tìm a và b

Hướng dẫn giải

Vì 1 + 2i là nghiệm của phương trình (1) nên ta được:

\begin{array}{l} {\left( {1 + 2i} \right)^2} + a\left( {1 + 2i} \right) + b = 0\, \Leftrightarrow - 3 + 4i + a\left( {1 + 2i} \right) + b = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {1 + 2i} \right) + b = 3 - 4i \Leftrightarrow a + 2ai + b = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = 3\\ 2a = - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 5 \end{array} \right. \end{array}

Ví dụ 3: Kí hiệu {z_1};{z_2};{z_3};{z_4} là bốn nghiệm phức của phương trình {z^4} - {z^2} - 12 = 0 . Tính tổng  {\left| z \right|_1} + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|

Hướng dẫn giải

Ta có: {z^4} - {z^2} - 12 = 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \left[ \begin{array}{l} {z^2}_1 = \dfrac{{1 + \sqrt {49} }}{2} = 4\\ {z^2}_2 = \dfrac{{1 - \sqrt {49} }}{2} = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = \pm 2\\ {z_2} = \pm \sqrt {3i} \end{array} \right.

Ta có:

\begin{array}{l} {\left| z \right|_1} + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right| = \left| 2 \right| + \left| { - 2} \right| + \left| {\sqrt 3 i} \right| + \left| { - \sqrt 3 i} \right|\\ = 2 + 2 + \sqrt 3 + \sqrt 3 = 4 + 2\sqrt 3 \end{array}

Hi vọng Phương trình bậc hai số phức 12 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 12 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 20
Tìm thêm: Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần