Giaitoan.com Toán 9 Luyện tập Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng Luyện tập Toán 9

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng

Chuyên đề Toán Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng được biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa (sgk) có thể luyện tập thêm các dạng bài tập nâng cao để biết được cách giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức . Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập  môn Toán lớp 9. Các bạn học sinh có thể luyện tập nhằm củng cố thêm kiến thức lớp 9 của mình. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

1. Nguyên lý Dirichlet

- Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng \left( {m,n \in \mathbb{N} ,n > m} \right) thì ta sẽ tìm được một chiếc lồng trong đó không ít hơn \left[ {\dfrac{n}{m}} \right] + 1 con thỏ

- Từ nguyên lý Dirichlet có một mệnh đề quan trọng là:

+ Trong 3 số thực bất kỳ x, y, z thì phải có 2 số có tích không âm

2. Bài tập nguyên lý dirichlet

Ví dụ 1: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)

Hướng dẫn giải

Nếu a = b = c thì

\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 = 2\left( {ab + bc + ca} \right) \Rightarrow 3{a^2} + 2{a^3} + 1 = 6{a^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^3} - 3{a^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{a^3} - 2{a^2} - {a^2} + a - a + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {2{a^2} - a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {2a + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a = 1 \end{array}

Nên dự đoán điểm rơi a = b = c =1.

Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số \left( {a - 1} \right);\left( {b - 1} \right);\left( {c - 1} \right) có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \left( {a - 1} \right);\left( {b - 1} \right) \ge 0 thì 2c\left( {a - 1} \right).\left( {b - 1} \right) \ge 0 \Rightarrow 2abc \ge 2bc + 2ca - 2c

Ta có:

\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2bc + 2ac - 2c\\ = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + 1} \right) + 2bc + 2ac - 2c\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + 1} \right) + 2bc + 2ac - 2c\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2ab + 2c + 2bc + 2ac - 2c = 2\left( {ab + bc + ca} \right) \end{array}

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi : \left\{ \begin{array}{l} \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 0\\ a = b\\ c = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1

Ví dụ 2: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right) (1)

Hướng dẫn giải

Nếu a = b = c thì

\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c = 2\left( {ab + bc + ca} \right) \Rightarrow 3{a^2} + 2a = 6{a^2}\\ \Leftrightarrow 3a\left( {1 - a} \right) = 0 \Leftrightarrow a = 1 \end{array}

Dự đoán điểm rơi a = b = c =1.

Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số \left( {a - 1} \right);\left( {b - 1} \right);\left( {c - 1} \right) có tích không âm

Không mất tính tổng quát, giá sử \left( {a - 1} \right).\left( {b - 1} \right) \ge 0

Nên \left( {a - 1} \right).\left( {b - 1} \right) \ge 0 \Rightarrow ab - a - b + 1 \ge 0 \Rightarrow abc \ge ab + bc + ca

Theo BĐT Cauchy: a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} = 3

BĐT (1) được chứng minh nếu ta chứng minh được:

{a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)

Ta có:

\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ac + bc - c} \right) + 1\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{c^2} + 1} \right) + 2\left( {ac + bc - c} \right) \ge 2ab + 2c + 2\left( {ab + bc} \right) - 2c = \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right) \end{array}

Nên {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right) . Dấu “=” xảy ra khi \left\{ \begin{array}{l} \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 0\\ a = b\\ c = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1

Ví dụ 3: Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:

\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{y^2} + 2} \right)\left( {{z^2} + 2} \right) \ge 9\left( {xy + yz + zx} \right)

Hướng dẫn giải

Nếu x = y = z ta được

Dự đoán điểm rơi x = y =1.\begin{array}{l} \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{y^2} + 2} \right)\left( {{z^2} + 2} \right) \ge 9\left( {xy + yz + zx} \right) \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^3} = 27{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4} + 12{x^2} + 8 = 27{x^2} \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4} - 15{x^2} + 8 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}{\left( {{x^2} + 8} \right)^3} = 0 \Rightarrow x = 1 \end{array}

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 2 số \left( {{x^2} - 1} \right);\left( {{y^2} - 1} \right);\left( {{z^2} - 1} \right)có ít nhất 2 số có tích không âm.

Giả sử 2 số là \left( {{x^2} - 1} \right);\left( {{y^2} - 1} \right) ta được:

\begin{array}{l} \left( {{x^2} - 1} \right).\left( {{y^2} - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2}{y^2} - {x^2} - {y^2} + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2}{y^2} + 2{x^2} + 2{y^2} + 4 \ge 3{x^2} + 3{y^2} + 3 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2} \right).\left( {{y^2} + 2} \right) \ge 3\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right).\left( {{y^2} - 1} \right)\left( {{c^2} - 1} \right) \ge 3\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)\left( {1 + 1 + {z^2}} \right) \end{array}

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy:

Dãy 1 a,b,1 và dãy 2 1;1;z ta có: 3\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)\left( {1 + 1 + {z^2}} \right) \ge 3\left( {x + y + z} \right) \ge 9\left( {xy + yz + zx} \right)

nên  \left( {{x^2} + 2} \right).\left( {{y^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \ge 9\left( {xy + yz + xz} \right)

Dấu “=” xảy ra khi \left\{ \begin{array}{l} \left( {{x^2} - 1} \right).\left( {{y^2} - 1} \right) = 0\\ a = b = c \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1

Ví dụ 4: Cho x,y, z không âm. Chứng minh rằng: 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + abc + 8 \ge 5\left( {a + b + c} \right)

Hướng dẫn giải

Nếu x = y = z ta được

\begin{array}{l} 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + xyc = z + 8 \ge 5\left( {x + y + z} \right) = 6{x^2} + {x^3} + 8 - 15x = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 8} \right) = 0 \Rightarrow x = 1 \end{array}

Dự đoán điểm rơi x = y = z =1

Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số x - 1;y - 1;z - 1có tích không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử  \left( {x - 1} \right).\left( {y - 1} \right) \ge 0. Ta được

\left( {x - 1} \right).\left( {y - 1} \right) \ge 0 \Rightarrow xyz \ge yz + xy - z

Nên 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + abc + 8 \ge 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz + xz - z + 8\,\,\,\left( * \right)

Ta cần chứng minh:

\begin{array}{l} 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz + xz - z + 8 \ge 5\left( {x + y + z} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz + xz + 8 \ge 5\left( {x + y} \right) + 6z\left( {**} \right) \end{array}

Ta có:

\begin{array}{l} 4\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + 2yz + 2xz + 16 \ge 5\left( {x + y + z} \right)\\ = {\left( {y + z} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2} + 3\left( {{x^2} + 1} \right) + 3\left( {{y^2} + 1} \right) + 2\left( {{z^2} + 1} \right) + 8 = P\\ \Rightarrow P = \left[ {{{\left( {y + z} \right)}^2} + 4} \right] + \left[ {{{\left( {x + z} \right)}^2} + 4} \right] + 3\left( {{x^2} + 1} \right) + 3\left( {{y^2} + 1} \right) + 2\left( {{z^2} + 1} \right)\\ \Rightarrow P \ge 4\left( {y + z} \right) + 4\left( {x + z} \right) + 6x + 6y + 4z = 10x + 10y + 12z\\ \Rightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + yz + xz + 8 \ge 5\left( {x + y} \right) + 6z \end{array}

Vậy 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + abc + 8 \ge 5\left( {a + b + c} \right)

Dấu “=” xảy ra khi \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 1} \right).\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right) = 0\\ y + z = x + z = 2\\ x = y = z = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = 1

Ngoài Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu ôn thi hay và chất lượng, các dạng toán nâng cao hay và khó. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và nâng cao kiến thức Toán lớp 9 tại Lý thuyết Toán 9, Luyện tập Toán 9, Giải toán 9,....

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 62
Tìm thêm: Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần