Giaitoan.com Toán 12 Chuyên đề Toán 12

Luyện tập biểu diễn hình học của số phức (tiếp theo) Lý thuyết Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Luyện tập biểu diễn hình học của số phức (tiếp theo)

Bài tập số phức luyện tập biểu diễn hình học của số phức (tiếp theo) đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi số phức lớp 12. Tài liệu bao gồm định nghĩa, công thức, cách biểu diễn và tính chất của số phức cùng với đó là các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Số phức. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn \left| {\dfrac{{3 + i}}{{1 - i}}z + 4 + 3i} \right| = \sqrt 5 .Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \omega biết số phức \omega thỏa mãn: \omega = \left( {3 + 4i} \right)z + 2i

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{array}{l} \left| {\dfrac{{3 + i}}{{1 - i}}z + 4 + 3i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {\left( {1 + 2i} \right)z + 4 + 3i} \right| = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {z + \dfrac{{4 + 3i}}{{1 + 2i}}} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {z + 2 - i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {1 + 2i} \right|\left| {z + 2 - i} \right| = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {z + 2 - i} \right| = 1\,\,\left( * \right) \end{array}

Mặt khác \omega = \left( {3 + 4i} \right)z + 2i \Rightarrow z = \dfrac{{\omega - 2i}}{{3 + 4i}} . Thay vào (*) ta được:

\begin{array}{l} \left| {\dfrac{{\omega - 2i}}{{3 + 4i}} + 2 - i} \right| = 1\, \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {\omega - 2i} \right) + \left( {2 - i} \right)\left( {3 + 4i} \right)}}{{3 + 4i}}} \right| = 1\,\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\omega + 10 + 3i}}{{3 + 4i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\omega + 10 + 3i} \right|}}{{\left| {3 + 4i} \right|}} = 1 \Leftrightarrow \left| {\omega + 10 + 3i} \right| = 5 \end{array}

Vậy tập hợp biểu diễn số phức trên là đường tròn {\left( {x + 10} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25

Ví dụ 2: Tìm tập hợp biểu diễn số phức  \omega = 2z + 3 - i, biết {\left| {2z + i} \right|^2} = 3z.\overline z + 1

Hướng dẫn giải

Gọi số phức \omega = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R} } \right) vàz = x + yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R} } \right)  . Ta có:

\begin{array}{l} \omega = 2z + 3 - i\\ \Leftrightarrow a + bi = 2\left( {x + yi} \right) + 3 - i \Leftrightarrow a + bi = 2x + 2yi + 3 - i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2x + 3\\ b = 2y - 1 \end{array} \right. \end{array}

Mà:

\begin{array}{l} {\left| {2z + i} \right|^2} = 3z.\overline z + 1 \Leftrightarrow {\left| {2x + \left( {2y + 1} \right)} \right|^2} = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1 \Leftrightarrow 4{x^2} + {\left( {2y + 1} \right)^2} = 3{x^2} + 3{y^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4y + 4 = 4 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{a - 3}}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{b + 1}}{2} + 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 16 \end{array}

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm I ( -3 ; -5) và bán kính R = 4

Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm N ( 2;-3) đến tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn {\left| {z + 2 - i} \right|^2} = z.\overline z biết \omega = \left( {1 + 2i} \right)z

Hướng dẫn giải

Gọi số phức \omega = x + yi và z = a + bi

Ta có:

\begin{array}{l} \omega = \left( {1 + 2i} \right)z \Leftrightarrow x + yi = \left( {1 + 2i} \right)\left( {a + bi} \right)\\ \Leftrightarrow x + yi = a - 2b + \left( {2a + b} \right)i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = a - 2b\\ y = 2a + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = \dfrac{{y - 2x}}{5}\\ a = \dfrac{{2y + x}}{5} \end{array} \right.\,\,\,\left( 1 \right) \end{array}

Mà

\begin{array}{l} {\left| {z + 2 - i} \right|^2} = z.\overline z \Leftrightarrow {\left| {\left( {a + bi} \right) + 2 - i} \right|^2} = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)\\ \Leftrightarrow {\left| {a + 2 + \left( {b - 1} \right)i} \right|^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow 4a - 2b + 5 = 0\,\,\,\left( * \right) \end{array}

Thay 1 và (*) ta được

4\left( {\dfrac{{2y + x}}{5}} \right) - 2\left( {\dfrac{{y - 2x}}{5}} \right) + 5 = 0\, \Leftrightarrow 8x + 6y + 25 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức trên là đường thẳng \left( \Delta \right):8x + 6y + 25 = 0

Ta có: {d_{\left( {N;\Delta } \right)}} = \dfrac{{\left| {8.2 + 6.\left( { - 3} \right) + 25} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = \dfrac{{23}}{{10}}

Ví dụ 4: Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \omega = \left( {2 - i} \right)z + 1 trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Tính diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng đó với các hệ trục tọa độ

Hướng dẫn giải

Ta có: \omega = \left( {2 - i} \right)z + 1 \Leftrightarrow z = \dfrac{{\omega - 1}}{{\left( {2 - i} \right)}}

Do đó: \begin{array}{l} \left| {z - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\omega - 1}}{{\left( {2 - i} \right)}} - i} \right| = \left| {\dfrac{{\omega - 1}}{{\left( {2 - i} \right)}} - 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {\frac{{\omega - 1}}{{\left( {2 - i} \right)}} - \dfrac{{i\left( {2 - i} \right)}}{{2 - i}}} \right| = \left| {\dfrac{{\omega - 1}}{{\left( {2 - i} \right)}} - \dfrac{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{2 - i}}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {\omega - 1} \right) - i\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 - i} \right)}}} \right| = \left| {\dfrac{{\left( {\omega - 1} \right) - \left( {1 - 2i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 - i} \right)}}} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {\omega - 1} \right) - i\left( {2 - i} \right)} \right| = \left| {\left( {\omega - 1} \right) - \left( {1 - 2i} \right)\left( {2 - i} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\omega - 2 - 2i} \right| = \left| {\omega - 1 + 5i} \right| \end{array}

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của là đường trung trực của AB với A ( 2;2); B ( 1; -5)

Gọi M là trung điểm của AB. Tọa độ điểm M là nghiệm của: \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = {x_M}\\ \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = {y_M} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \dfrac{3}{2}\\ {y_M} = - \dfrac{3}{2} \end{array} \right.

Phương trình đường thẳng AB đi qua A( 2; 2) nhận vecto pháp tuyến \overrightarrow n = \left( {1;7} \right)có dạng \left( d \right):1\left( {x - 2} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 7y - 9 = 0

Giao của (d) với trục Ox là N\left( {9;0} \right)

Giao của (d) với trục Oy là M\left( {0;\dfrac{9}{7}} \right)

Vậy  {S_{MON}} = \dfrac{1}{2}.OM.ON = \dfrac{1}{2}.9.\dfrac{9}{7} = \dfrac{{81}}{4}

--------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Số phức là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 22
Tìm thêm: Toán 12 Bài tập Toán 12 chuyên
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần