Giaitoan.com Toán 9 Luyện tập Toán 9

Hệ phương trình chứa tham số Hệ phương trình

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Hệ phương trình

GiaiToan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô và học sinh Toán lớp 9 Hệ phương trình Toán 9 tập 1 dưới sự trình bày chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán 9 giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố lý thuyết môn Toán lớp 9 vững vàng. Mời các bạn tham khảo!

I. Hệ phương trình là gì?

1. Hệ phương trình chứa tham số

Bài toán thường gặp

Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} a\,x + by = c\\ {a^\prime }\,x + {b^\prime }y = {c^\prime } \end{array} \right.chứa tham số m. Tìm m đề hệ có nghiệm duy nhất ( x;y) thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: Dùng phương pháp thế, cộng, trừ để đưa hệ đã cho về phương trình bậc nhất một ẩn Ax = B

Bước 2: Lập luận: Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình Ax = B có nghiệm duy nhất \Leftrightarrow A \ne 0

Bước 3: Giải nghiệm (x;y) theo m và xử lý điều kiện của bài toán

Chú ý

Hệ vô nghiệm khi phương trình Ax = B vô nghiệm \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B \ne 0 \end{array} \right.

Hệ vô số nghiệm khi phương trình Ax = B vô số nghiệm \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 0 \end{array} \right.

Đối với hệ \left\{ \begin{array}{l} a\,x + by = c\\ {a^\prime }\,x + {b^\prime }y = {c^\prime } \end{array} \right. khi a’, b’, c’ thì ta có các điều kiện sau:

+ Hệ có nghiệm duy nhất khi \dfrac{a}{{{a^\prime }}} \ne \dfrac{b}{{{b^\prime }}}

+ Hệ vô nghiệm \dfrac{a}{{{a^\prime }}} = \dfrac{b}{{{b^\prime }}} \ne \dfrac{c}{{{c^\prime }}}

+ Hệ vô số nghiệm \dfrac{a}{{{a^\prime }}} = \dfrac{b}{{{b^\prime }}} = \dfrac{c}{{{c^\prime }}}

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 8\\ 4x + my = 2m + 18 \end{array} \right. ( với m là tham số)

1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) và tìm nghiệm duy nhất đó

2. Với (x;y) là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm m để:

a) 2x – 3y >0

b) x, y là các số nguyên

c) Biểu thức đạt GTNN

d) Biểu thức đạt GTLN

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 8\\ 4x + my = 2m + 18 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 8 - 2x\\ 4x + m\left( {8 - 2x} \right) = 2m + 18 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 8 - 2x\\ 4x + 8m - 2mx = 2m + 18 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 8 - 2x\\ \left( {4 - 2m} \right)x = - 6m + 18\left( * \right) \end{array} \right.\, \end{array}

1.

Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất \Leftrightarrow 4 - 2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2

Với m \ne 2 thì

\left\{ \begin{array}{l} y = 8 - 2x\\ x = \dfrac{{ - 6m + 18}}{{4 - 2m}} \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 8 - 2x\\ x = \dfrac{{3m - 9}}{{m - 2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 8 - 2\left( {\dfrac{{3m - 9}}{{m - 2}}} \right)\\ x = \dfrac{{3m - 9}}{{m - 2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \dfrac{{2m + 2}}{{m - 2}}\\ x = \dfrac{{3m - 9}}{{m - 2}} \end{array} \right.

Vậy m \ne 2 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{3m - 9}}{{m - 2}};\dfrac{{2m + 2}}{{m - 2}}} \right)

2.

a)  Ta có

\begin{array}{l} 2x{\rm{ }}--{\rm{ }}3y{\rm{ }} > 0 \Rightarrow 2.\dfrac{{3m - 9}}{{m - 2}} - 3.\dfrac{{2m + 2}}{{m - 2}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2.\left( {3m - 9} \right) - 3\left( {2m + 2} \right)}}{{m - 2}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 24}}{{m - 2}} > 0\\ \Leftrightarrow m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2 \end{array}

b. Ta có:

\left\{ \begin{array}{l} y = \dfrac{{2m + 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{2\left( {m - 2} \right) + 6}}{{m - 2}} = 2 + \dfrac{6}{{m - 2}}\\ x = \dfrac{{3m - 9}}{{m - 2}} = \dfrac{{3\left( {m - 2} \right) - 3}}{{m - 2}} = 3 - \dfrac{3}{{m - 2}} \end{array} \right.

Do x,y \in \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 \vdots \left( {m - 2} \right)\\ 6 \vdots \left( {m - 2} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow m - 2 \in UC\left( {3;6} \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\} \Leftrightarrow m \in \left\{ {3,1,5, - 1} \right\}\left( {t/m} \right)  .

c)

S = {x^2} + {y^2} = {\left( {2 + \dfrac{6}{{m - 2}}} \right)^2} + {\left( {3 - \dfrac{3}{{m - 2}}} \right)^2} . Đặt a = \dfrac{3}{{m - 2}} ta được

\begin{array}{l} S = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {2 + 2a} \right)^2} = 5{a^2} + 2a + 13\\ = 5\left( {{a^2} + \dfrac{2}{5}a + \dfrac{{13}}{5}} \right) = 5{\left( {a + \dfrac{1}{5}} \right)^2} + \dfrac{{64}}{5} \ge \dfrac{{64}}{5} \end{array}

Vậy GTNN của S là \dfrac{{64}}{5} khi a = - \dfrac{1}{5} \Rightarrow \frac{3}{{m - 2}} = - \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow m = - 13\left( {t/m} \right)

d)

Ta có T = xy \Rightarrow T = \left( {2 + \dfrac{6}{{m - 2}}} \right)\left( {3 - \dfrac{3}{{m - 2}}} \right)

Đặt a = \dfrac{3}{{m - 2}} , ta được S = \left( {3 - a} \right).\left( {2 + 2a} \right) = - 2{a^2} + 4a + 6 = - 2{\left( {a - 1} \right)^2} + 8 \le 8

Vậy GTLN của T là 8 khi a = 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{m - 2}} = 1 \Leftrightarrow m = 5\left( {t/m} \right)

------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Hệ phương trình chứa tham số sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 124
Tìm thêm: Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần