Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá Giải hệ phương trình

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Giải hệ phương trình là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ x,y.

Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp

2. Bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Ví dụ1: Giải hệ phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2{y^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 2xy} }}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\sqrt {x\left( {1 - 2x} \right)} + \sqrt {y\left( {1 - 2y} \right)} = \dfrac{2}{9}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện 0 \le x,y \le \frac{1}{2}

Đặt a = \sqrt 2 x,b = \sqrt 2 y,a,b\left[ {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]

Ta có \dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2{y^2}} }} \le \sqrt {2.\left( {\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}}} \right)}

Ta sử dụng bổ đề với  \left\{ \begin{array}{l} a,b > 0\\ ab \le 1 \end{array} \right.ta có bất đẳng thức: 

 \begin{array}{l}\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \le \dfrac{2}{{1 + ab}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {a^2}} \right)}} \le 0\end{array} luôn đúng

Vậy VT \le \dfrac{2}{{\sqrt {1 + ab} }} = VP

Đẳng thức xảy ra khi x = y . Thay vào (2) ta tìm được nghiệm của phương trình

Nghiệm của hệ phương trình \left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 - \sqrt {73} }}{{36}};\dfrac{{9 - \sqrt {73} }}{{36}}\,\,} \right),\,\left( {\dfrac{{9 + \sqrt {73} }}{{36}};\dfrac{{9 + \sqrt {73} }}{{36}}\,\,} \right)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {x^2} = 2\sqrt {{{\left( {x - {y^2}} \right)}^3}\,} \left( 1 \right)}\\ {76{x^2} - 20{y^2} + 2 = \sqrt[3]{{4x\left( {8x + 1} \right)}}\,\,\left( 2 \right)} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x \ge {y^2} \ge 0

Phương trình (1) tương đương:{x^3} + x\left( {x - {y^2}} \right) - 2\sqrt {{{\left( {x - {y^2}} \right)}^3}} = 0

Đặt phương trình 1 trở thành {x^3} + x{u^2} - 2{u^3} = 0 \Leftrightarrow x = u \Leftrightarrow {y^2} = x - {x^2}

Thay vào (2) ta được :96{x^2} - 20x + 2 = \sqrt[3]{{32{x^2} + 4x}}

Ta có\begin{array}{l} 96{x^2} - 20x + 2 = \sqrt[3]{{32{x^2} + 4x}} = \sqrt[3]{{1.1.\left( {32{x^2} + 4x} \right)}} \le \dfrac{{32{x^2} + 4x + 2}}{3}\\ \Leftrightarrow 3.\left( {96{x^2} - 20x + 2} \right) \le 32{x^2} + 4x + 2 \Leftrightarrow {\left( {16x - 2} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{8} \Rightarrow y = \pm \dfrac{{\sqrt 7 }}{8} \end{array}

Từ đó ta có nghiệm của hệ\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{8} \pm \dfrac{{\sqrt 7 }}{8}} \right)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 2x + 9}}}} = {x^2} + y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\ {y + \dfrac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{{y^2} - 2y + 9}}}} = {y^2} + x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Hiển nhiên là 1 nghiệm của hệ. Ta xét . Cộng theo vế hai phương trình trong hệ ta được

\,\,\,2xy\left( {\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 8}}}} + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {y - 1} \right)}^2} + 8}}}}} \right) = {x^2} + {y^2}. Chú ý rằng:

\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 8}}}} \le \dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {y - 1} \right)}^2} + 8}}}} \le \dfrac{1}{2}

Với xy > 0 ta có  \,\,\,2xy\left( {\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 8}}}} + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {y - 1} \right)}^2} + 8}}}}} \right) \le 2xy \le {x^2} + {y^2}

Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1 . Vậy hệ phương trình có nghiệm \left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x + 10\sqrt {xy} - y = 12}\\ {x + \dfrac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \le 3} \end{array}} \right.

Hướng dẫn giải

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có

\begin{array}{l} \sqrt {xy} \le \frac{{x + y}}{2} \Rightarrow 12 = 3x + 10\sqrt {xy} - y \le 3x + 5x + 5y - y\\ = 8x + 4y \Rightarrow 2x + y \ge 3 \end{array}

Ta sẽ chứng minh:

\begin{array}{l} x + \dfrac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \ge 2x + y\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} \ge \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} + x + y\,\,\,\,\,* \end{array}

Ta có x + y \le \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}. Để chứng minh (*) ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là \dfrac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} \ge 2\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)

Mặt khác ta cũng có xy \le \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} nên (1) sẽ chứng minh nếu ta chỉ ra được:

\begin{array}{l} \dfrac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + {y^2}}} \ge 2\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) \ge {x^2} + {y^2}\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \\ \Leftrightarrow {x^6} + {y^6} + 4{x^3}{y^3} - 3{x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge 0\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array}

Vì y>0 chia hai vế cho {y^6}ta đặt t = \frac{x}{y} > 0 bất đẳng thức (2) trở thành.{t^6} - 3{t^4} + 4{t^3} - 3{t^2} + 1 \ge 0

. Nhưng bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do:

\begin{array}{l} {t^6} - 3{t^4} + 4{t^3} - 3{t^2} + 1 = {\left( {t - 1} \right)^2}\left( {{t^4} + 2{t^3} + 2t + 1} \right)\\ \Rightarrow x + \dfrac{{6\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} - \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \ge 3 \end{array}

Vậy x = y = 1 là nghiệm của hệ phương trình

3. Bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

\begin{array}{l} a)\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {9\sqrt {\dfrac{{41}}{2}\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{2x + y}}} \right)} = 3 + 40x}\\ {{x^2} + 5xy + 6y = 4{y^2} + 9x + 9} \end{array}} \right.\\ b)\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} + \sqrt {\dfrac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{3}} = x + y}\\ {x\sqrt {2xy + 5x + 3} = 4xy - 5x - 3} \end{array}} \right.\\ c)\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt x + \sqrt[4]{{32 - x}} - {y^2} + 3 = 0}\\ {\sqrt[4]{x} + \sqrt {32 - x} + 6y - 24 = 0} \end{array}} \right. \end{array}

-----------------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Mời các bạn tham khảo thêm các tài liệu: Toán lớp 9, giải bài tập toán 9, lý thuyết toán 9,....Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 162
Tìm thêm: Toán 9 chuyên đề toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

Chủ đề liên quan

Mới nhất trong tuần