Giaitoan.com Toán 9 Luyện tập Toán 9

Giải hệ phương trình bằng cách sử dụng hằng đẳng thức Luyện tập toán 9

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Giải hệ phương trình bằng cách dùng hằng đẳng thức

Chuyên đề giải hệ phương trình bằng cách dùng hằng đẳng thức đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh lớp 9 ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về hệ phương trình. Tài liệu bao gồm công thức, các dạng toán, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề hệ phương trình để chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1.Cách giải hệ phương trình bằng cách dùng hằng đẳng thức

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau \left\{ \begin{array}{l} x + y = 5\\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{{13}}{6} \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5\\ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{{13}}{6} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {DK:\,y,x \ne 0} \right)

\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{{13}}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\\dfrac{{{x^2}}}{{xy}} + \dfrac{{{y^2}}}{{xy}} = \dfrac{{13}}{6}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} = \dfrac{{13}}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = \dfrac{{13}}{6}xy\end{array} \right.\end{array}

Đặt \left\{ \begin{array}{l} S = x + y\\ P = xy \end{array} \right. thì  \left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ {S^2} - 2P = \frac{{13}}{6}P \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.

Theo hệ thức Vi-et thì x,y là nghiệm của phương trình:

{X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 2\\ X = 3 \end{array} \right.

Với  \begin{array}{l} X = 2 \Rightarrow Y = 3\\ X = 3 \Rightarrow Y = 2 \end{array}

Vậy hệ phương trình có nghiệm \left( {X;Y} \right) = \left( {2;3} \right);\,\,\left( {3;2} \right)

Ví dụ 2: Giả hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} y + x{y^2} = 6{x^2}\\ 1 + {x^2}{y^2} = 5{x^2} \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Nếu x = 0  thì hệ trên tương đương với \left\{ \begin{array}{l} y = 0\\ 1 = 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {vl} \right)

Vậy x \ne 0  , ta chia hai vế của hệ phương trình cho {x^2} ta được hệ phương trình sau:

\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{y}{{{x^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{x} = 6\\\dfrac{1}{{{x^2}}} + {y^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y.\dfrac{1}{x}\left( {\dfrac{1}{x} + y} \right) = 6\\{\left( {\dfrac{1}{x} + y} \right)^2} - 2\left( {\dfrac{1}{x} + y} \right) = 5\end{array} \right.

Đặt:\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x} + y = S\\ y.\dfrac{1}{x} = P \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} SP = 6\\ {S^2} - 2P = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = \dfrac{6}{S}\\ {S^2} - \dfrac{{12}}{S} = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 3\\ P = 2 \end{array} \right.

Theo hệ thức Vi-et thì x,y là nghiệm của phương trình:

{X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 2\\ X = 1 \end{array} \right.

Với \begin{array}{l} X = 1 \Rightarrow Y = \frac{1}{2}\\ X = 2 \Rightarrow Y = 1 \end{array}

Vậy hệ phương trình có nghiệm \left( {X;Y} \right) = \left( {1;\dfrac{1}{2}} \right);\,\,\left( {2;1} \right)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 10\\ x + y = 4 \end{array} \right.

Đặt\left\{ \begin{array}{l} S = x + y\\ P = xy \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 4\\ P = 3 \end{array} \right.

Theo hệ thức Vi-et thì x,y là nghiệm của phương trình{X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} - 4X + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 3\\ X = 1 \end{array} \right.

Với  \begin{array}{l} X = 1 \Rightarrow Y = 3\\ X = 3 \Rightarrow Y = 1 \end{array}

Vậy hệ phương trình có nghiệm \left( {X;Y} \right) = \left( {1;3} \right);\,\,\left( {3;1} \right)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 2\\ xy\left( {x + y} \right) = 2 \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 2\\ xy\left( {x + y} \right) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 2\\ xy\left( {x + y} \right) = 2 \end{array} \right.

Đặt \left\{ \begin{array}{l} S = x + y\\ P = xy \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {S^3} - 3SP = 2\\ SP = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {S^3} - 3.2 = 2\\ SP = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 2\\ P = 1 \end{array} \right.

Theo hệ thức Vi-et thì x,y là nghiệm của phương trình

{X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} - 2X + 1 = 0 \Leftrightarrow X = 1 \Rightarrow Y = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm \left( {X;Y} \right) = \left( {1;1} \right)

2. Bài tập giải hệ phương trình bằng cách dùng hằng đẳng thức

\begin{array}{l} a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 85}\\ {\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 45} \end{array}} \right.\\ b)\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 1}\\ {{x^5} + {y^5} = 31} \end{array}} \right.\\ c)\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} + {y^3} = 35}\\ {x{y^2} + {x^2}y = 1} \end{array}} \right.\\ d)\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} = 4}\\ {{x^6} + {y^6} = 64} \end{array}} \right. \end{array}

---------------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải hệ phương trình bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức  sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc cách giải hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết Toán 9, Giải Toán 9, Luyện tập Toán 9, ...

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 610
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9 giải hệ phương trình
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Tài liệu tham khảo khác

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần