Giaitoan.com Toán 12

Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm Luyện tập Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm

GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm. Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong các bài kiểm tra và đề thi môn Toán lớp 12, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Giải tích lớp 12. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 12 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Phương pháp chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm

Cách 1: Sử dụng tính chất tam thức bậc hai

- Phân tích phương trình ban đầu thành {\left( {{x^2} + \dfrac{{ax}}{2} + m} \right)^2} + f\left( x \right) trong đó  f\left( x \right) là  một tam  thức bậc 2 luôn lớn hơn 0 với \forall x \in \mathbb{R}

Cách 2: Sử dụng đạo hàm:

- Ta xét phương trình tổng quát: {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0(1)

  • Bước 1: Đạo hàm vế trái của phương trình (1) ta được: f'\left( x \right) = 4{x^3} + 3a{x^2} + 2bx + c
  • Bước 2: Giải phương trình f'\left( x \right) = 0  . Nếu:

+ Phương trình có nghiệm duy nhất thì đây chính là điểm rơi

+ Phương trình có nhiều nghiệm thì lấy nghiệm làm cho vế trái nhỏ nhất

  • Bước 3: Tìm k sao cho:

+ {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d - {\left( {{x^2} + \dfrac{{ax}}{2} + k} \right)^2} > 0\,\,\,\forall x

+ k \approx - x_0^2 - \dfrac{{a}}{2}{x_0}

  • Bước 4: Sau khi tìm được k, ta được {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d - {\left( {{x^2} + \dfrac{{ax}}{2} + k} \right)^2} = m{x^2} + nx + p > 0\,\,\,\forall x

Do f\left( x \right) - g\left( x \right) = h\left( x \right) mà trong đó \left\{ \begin{array}{l} h\left( x \right) > 0\\ g\left( x \right) > 0 \end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0

2. Bài tập chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm {x^4} - {x^2} + x + 2 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có: f'\left( x \right) = 4{x^3} - 2x + 1

Khi đó f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = - 0,8846

Ta có:  k \approx - x_0^2 - \dfrac{{a}}{2}{x_0} = - {\left( { - 0,8846} \right)^2} = - 0,715716 \Rightarrow k = - 0,8 = \dfrac{{ - 4}}{5}

Khi đó:

\begin{array}{l} {x^4} - {x^2} + x + 2 - {\left( {{x^2} - \dfrac{4}{5}} \right)^2} = \dfrac{3}{5}{x^2} + x + 1.36\\ = \dfrac{3}{5}\left( {{x^2} + \frac{5}{3}x + \dfrac{{34}}{{15}}} \right) = \dfrac{3}{5}\left( {{x^2} + 2.\dfrac{5}{6}x + \dfrac{{25}}{{36}} + \dfrac{{283}}{{180}}} \right)\\ = \dfrac{3}{5}{\left( {x + \dfrac{5}{6}} \right)^2} + \dfrac{{283}}{{300}} > 0\,\,\forall x \end{array}

Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Chứng minh rằng f\left( x \right) = 2{x^4} + {x^3} - 2{x^2} + x + 3 > 0

Hướng dẫn giải

Ta có: f'\left( x \right) = 8{x^3} + 3{x^2} - 4x + 1

Khi đó: f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8{x^3} + 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = - 1

Ta có: k \approx - x_0^2 - \dfrac{{a}}{2}{x_0} = \dfrac{{ - 3}}{4}

Khi đó:

\begin{array}{l} 2{x^4} + {x^3} - 2{x^2} + x + 3 - 2{\left( {{x^2} + \dfrac{1}{4}x - \dfrac{3}{4}} \right)^2}\\ = \dfrac{7}{8}{x^2} + \dfrac{7}{4}x + \dfrac{{15}}{8} = \dfrac{7}{8}{\left( {x + 1} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall x \end{array}

Vậy phương trình luôn lớn hơn 0 với mọi x

----------------------------------------------------------------------------

Trên đây là bài tập hướng dẫn chi tiết chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập nắm chắc kiến thức cơ bản môn Toán 12 và hỗ trợ các em học sinh trong các kì thi trong năm học lớp 12.

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 74
Tìm thêm: Toán 12 Bài tập Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần