Giaitoan.com Toán 8 Luyện tập Toán 8

Chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Cách chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh bất đẳng thức đưa ra  phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về những hằng đẳng thức đáng nhớ. Tài liệu bao gồm các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề bất đẳng thức Toán lớp 8. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Các bất đẳng thức phụ

+ {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0dấu bằng xảy ra khi a=b

+a + b \ge 2\sqrt {ab}

+\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2

2.Cách chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = \dfrac{2}{{1 - x}} + \dfrac{1}{x}\,\,\left( {0 < x < 1} \right)

Hướng dẫn giải:

Tách

\begin{array}{l} A = \dfrac{{2 - 2x + 2x}}{{1 - x}} + \dfrac{{1 - x + x}}{x} = 3 + \dfrac{{2x}}{{1 - x}} + \dfrac{{1 - x}}{x}\,\,\\ \ge 3 + 2\sqrt {\dfrac{{2x}}{{1 - x}}.\dfrac{{1 - x}}{x}\,} = 3 + 2\sqrt 2 \end{array}

Dấu bằng xảy ra khi \dfrac{{2x}}{{1 - x}} = \dfrac{{1 - x}}{x} \Rightarrow x = \sqrt 2 - 1

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thứcB = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\,\,\left( {x \ge 0} \right)

Hướng dẫn giải

Tách B = \dfrac{{{x^2} - 4 + 5}}{{x + 2}}\, = x + 2 + \dfrac{5}{{x + 2}} - 4 \ge 2\sqrt 5 \, - 4

Dấu bằng xảy ra khi x + 2 = \dfrac{5}{{x + 2}} \Rightarrow x + 2 = \pm \sqrt 5 \, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 5 - 2\\ x = - \sqrt 5 - 2 \end{array} \right.

Ví dụ 3: Tìm GTNN của A = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} với x>0

Hướng dẫn giải

Tách

\begin{array}{l} A = \dfrac{{{x^2} + x + 1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} = 1 + \dfrac{{ - 2x}}{{{x^2} + x + 1}}\\ = 1 - \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{x + \dfrac{1}{x} + 1}} \end{array}

Ta có x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \Rightarrow \dfrac{2}{{x + \dfrac{1}{x} + 1}} \le \dfrac{2}{{2 + 1}} = \dfrac{2}{3}

Dấu bằng xảy ra khi và khỉ khi x = \dfrac{1}{x} \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.

Ví dụ 4: Tìm GTNN củaB = \dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{x}  với x>0

Hướng dẫn giải

Ta có

B = \dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{x} = x + 5 + \dfrac{4}{x}

. Áp dụng BĐT ta có

\begin{array}{l} x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}} = 4\\ \Rightarrow x + \dfrac{4}{x} + 5 \ge 9 \end{array}

Dấu bằng xảy ra khi x = \dfrac{4}{x} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 2 \end{array} \right.

3. Bài tập chứng minh bất đẳng thức

1. Tìm GTNN của A = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}} + 2} \right)^2} với x \ne - 2

2. Tìm GTNN của A = \dfrac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 4x + 1}}

3. Tìm GTNN củaB = \dfrac{y}{{1 - y}} + \dfrac{5}{y}

--------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề bất đẳng thức toán 8 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 8 cũng như ôn luyện cho các kì thi sắp tới. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 11
Tìm thêm: Chuyên đề Toán 8
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần