Giaitoan.com Toán 9 Đề thi vào 10 môn Toán

Đề ôn thi vào 10 môn Toán - Đề số 5 Đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Đề ôn thi vào 10 – Đề số 5

GiaiToan mời các bạn tham khảo Đề ôn thi vào 10 – Đề số 5 được xây dựng theo trọng tâm chương trình học môn Toán lớp 9 giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức, chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

Đề ôn thi vào 10 – Đề số 5

Câu 1:

a) Giải phương trình \sqrt 3 x + \sqrt {75} = 0

b) Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\2x + y = - 4\end{array} \right.

Câu 2: Cho phương trình 2{x^2} - (m + 3)x + m = 0 (1) với m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi {x_1},{x_2} là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = |{x_1} - {x_2}|

Câu 3:

a) Rút gọn biểu thức P = \frac{{9\sqrt a - \sqrt {25a} + \sqrt {4{a^3}} }}{{{a^2} + 2a}} với a > 0

b) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Câu 4: Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC.

  1. a) Chứng minh tam giác ABD cân.
  2. b) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E (E\neA). Tên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = AE. Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.
  3. c) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).

Câu 5: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} > 2

Đáp án đề ôn thi vào 10 – Đề số 5

Câu 1:

a) Giải phương trình \sqrt 3 x + \sqrt {75} = 0

b) Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\2x + y = - 4\end{array} \right.

Lời giải:

a) \sqrt 3 x + \sqrt {75} = 0

\Leftrightarrow \sqrt 3 x = - \sqrt {75}

\Leftrightarrow \sqrt 3 x = - 5\sqrt 3 \Leftrightarrow x = - 5

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {- 5}

b) \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\2x + y = - 4\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\4x + 2y = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\7x = - 7\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.

Vậy phương trình có nghiệm (x;y) = (-1; -2)

Câu 2:

Cho phương trình 2{x^2} - (m + 3)x + m = 0 (1) với m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi {x_1},{x_2} là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = |{x_1} - {x_2}|

Lời giải:

a) Với m = 2, phương trình trở thành: 2{x^2} - 5x + 2 = 0

\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - x + 2 = 0

\Leftrightarrow 2x(x - 2) - (x - 2) = 0

\begin{array}{l} \Leftrightarrow (2x - 1)(x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = 2\end{array} \right.\end{array}

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = \left\{ {2;\frac{1}{2}} \right\}

b) 2{x^2} - (m + 3)x + m = 0 (1)

\begin{array}{l}\Delta = {(m + 3)^2} - 4.2.m\\ = {m^2} - 2m + 9\\ = {m^2} - 2m + 1 + 8\\ = {(m - 1)^2} + 8 > 0,\forall m\end{array}

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{m + 3}}{2}\\{x_1}.{x_2} = \frac{m}{2}\end{array} \right.

Biểu thức A = |{x_1} - {x_2}| = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2}}

= \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2}} = \sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} = \sqrt {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 4{x_1}{x_2}}

= \sqrt {\frac{{{{(m + 3)}^2}}}{4} - 4.\frac{m}{2}} = \sqrt {\frac{{{m^2}}}{4} - \frac{m}{2} + \frac{9}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {{m^2} - 2m + 9} = \frac{1}{2}\sqrt {{{(m - 1)}^2} + 8}

Do {(m - 1)^2} \ge 0,\forall m \Leftrightarrow \sqrt {{{(m - 1)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2

\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt {{{(m - 1)}^2} + 8} \ge \sqrt 2 \Leftrightarrow A \ge \sqrt 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 1

Vậy {A_{\min }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 1

Câu 3:

a) Rút gọn biểu thức P = \frac{{9\sqrt a - \sqrt {25a} + \sqrt {4{a^3}} }}{{{a^2} + 2a}} với a > 0

P = \frac{{9\sqrt a - \sqrt {25a} + \sqrt {4{a^3}} }}{{{a^2} + 2a}}

P = \frac{{9\sqrt a - 5\sqrt a + 2a\sqrt a }}{{{a^2} + 2a}}

P = \frac{{4\sqrt a + 2a\sqrt a }}{{{a^2} + 2a}} = \frac{{2\sqrt a (2 + a)}}{{a(a + 2)}} = \frac{2}{{\sqrt a }}

b) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Lời giải:

Gọi vận tốc canô trong nước yên lặng là x (km/h, x > 4)

Vận tốc ca nô khi nước xuôi dòng là x + 4 (km/h)

Thời gian ca nô chạy xuôi dòng là \frac{{48}}{{x + 4}} (h)

Vận tốc ca nô khi nước ngược dòng là x - 4 (km/h)

Thời gian ca nô chạy ngược dòng là \frac{{48}}{{x - 4}} (h)

Theo giả thiết ta có phương trình:

\begin{array}{l}\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{48}}{{x - 4}} = 5\\ \Leftrightarrow 48(x - 4) + 48(x + 4) = 5({x^2} - 16)\\ \Leftrightarrow 96x = 5{x^2} - 80\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 96x - 80 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 0,8(ktm)\\x = 20(tm)\end{array} \right.\end{array}

Vậy vận tốc canô trong nước yên lặng là 20 km/h

Câu 4: Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC.

a) Chứng minh tam giác ABD cân.

b) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E (E ¹A). Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = AE. Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.

c) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).

Lời giải:

a) Xét tam giác ABD có BC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

=> Tam giác ABD cân tại B

b) Vì \widehat {CAE} = 90^\circ (gt) => CE là đường kính của (O).

Xét tam giác ABD có AC = CD và AO = OB

=> CO là đường trung bình của tam giác ABD

=> CO // BD hay CE // DB (1)

Xét tam giác ADF có AC = CD và AE = EF

=> CE là đường trung bình của tam giác ADF

=> CE // DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra D, B, F thẳng hàng

c) AB = CE = 2R

Mà AB = BD => BD = CE (3)

Ta có CE là đường trung bình của tam giác ADF (cmt)

=> CE = ½ DF (4)

Từ (3) và (4) suy ra B là trung điểm của DF

=> B là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF, bán kính AB

Mặt khác OB = AB – OA

=> Đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A

Câu 5: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} > 2

Lời giải:

Vì các số a,b, c dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:

\begin{array}{l}\sqrt {a(b + c)} \le \frac{{a + (b + c)}}{2}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt {a(b + c)} }}{a} \le \frac{{a + (b + c)}}{{2a}}\\ = > \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} \ge \frac{{2a}}{{a + b + c}}\end{array}

Chứng minh tương tự ta có:

\begin{array}{l}\sqrt {\frac{b}{{a + c}}} \ge \frac{{2b}}{{a + b + c}};\\\sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge \frac{{2c}}{{a + b + c}}\end{array}

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều, ta được:

\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{a + c}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge \frac{{2a + 2b + 2c}}{{a + b + c}} = 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\b = a + c\\c = a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 0 (không thỏa mãn)

Vậy \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} > 2

-----------------------------------------------------------

Đề thi vào 10 môn Toán bao gồm các mẫu đề thi khác nhau kèm theo đáp án chi tiết được GiaiToan tổng hợp. Mời các bạn tham khảo thêm chuyên mục Đề thi học kì 2 lớp 9 với nhiều mẫu đề khác nhau nhằm đạt kết quả cao trong chương trình học môn Toán lớp 9.

Chia sẻ bởi: Bảo Bình
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 280
Tìm thêm: Lớp 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần