Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Chuyên đề số chính phương ôn thi vào chuyên Toán Số chính phương

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Số chính phương ôn thi vào chuyên Toán

GiaiToan.com biên soạn và đăng tải tài liệu số chính phương ôn thi vào chuyên Toán giúp học sinh hiểu rõ về hàm số bậc nhất, cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, thế nào là hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, ...Toán lớp 9 nhanh và chính xác nhất. Chi tiết mời các em học sinh cùng tham khảo. Chúc các bạn học tập tốt!

1. Số chính phương

- Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên (tức là nếu n là số chính phương thì n = {k^2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh một số là một số chính phương hoặc là tổng nhiều số chính phương

Phương pháp: Để chứng minh một số n là số chính phương thường dựa vào định nghĩa, tức là chứng minh n = {k^2}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)

Ví dụ 1: Cho B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)với k là một số tự nhiên. Chứng minh rằng 4B + 1 là số chính phương

Hướng dẫn giải:

Ta thấy biểu thức B là tổng của một biểu thức chúng ta nghĩ đến việc phải thu gọn biểu thức B trước

Ta có:

\begin{array}{l}n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \dfrac{1}{4}n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left[ {\left( {n + 3} \right) - \left( {n - 1} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{4}\left[ {n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \right]\end{array}

Áp dụng:

\begin{array}{l}1.2.3 = \dfrac{1}{4}.1.2.3.4 - 0.1.2.3\\2.3.4 = \dfrac{1}{4}.2.3.4.5 - 1.2.3.4\\3.4.5 = \dfrac{1}{4}\,3.4.5.6 - 2.3.4.5\\....................................\\k\,\,\left( {k + 1} \right)\,\,\left( {k + 2} \right) = \dfrac{1}{4}\left[ {k\,\,\left( {k + 1} \right)\,\,\left( {\,k + 2} \right)\,\,\,\left( {k + 3\,} \right)\, - \left( {k - 1} \right)\,k\,\,\left( {k + 1} \right)\,\,\,\left( {k + 2} \right)} \right]\end{array}

Cộng theo vế các dẳng thức trên ta được

\begin{array}{l} B = 1.2.3 + 2.3.4 + .... + k\,\,\,k + 1\,\,\,\,\,k + 2\, = \frac{1}{4}k\,\,\,\left( {\,k + 1\,\,} \right)\,\,\left( {\,k + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {k + 3} \right)\\ \Rightarrow 4B + 1 = k\,\,\,\,\left( {k + 1} \right)\,\,\,\,\,\left( {k + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {k + 3} \right)\,\, + 1 = {k^2} + 3k + 1 \end{array}

Vì nên . Vậy 4B + 1 là số chính phương

Ví dụ 2: Cho a = \underbrace {111....11}_{2016\,},a = \underbrace {10....05}_{2015\,}. Chứng minh rằng \sqrt {ab + 1} là số tự nhiên

Ta có :

\begin{array}{l} b = \mathop {10....05}\limits_{2015} = 10....0 - 1 + 6 = 9...9 + 6 = 9a + 6\\ \Rightarrow ab + 1 = a\left( {9a + 6} \right) + 1 = 9{a^2} + 6a + 1 = {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt {ab + 1} = \sqrt {{{\left( {3a + 1} \right)}^2}} = 3a + 1 \in\mathbb{N} \end{array}

Vậy \sqrt {ab + 1} là một số tự nhiên

Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phương

Ví dụ 1: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 thì có thể là số chính phương được không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n

Ta có: 2018 = 3m+2 nên số tự nhiên n chia 3 dư 2, do đó số n có dạng 3k+2 với k là số tự nhiên. Mặt khác một số chính phương thì không có dạng 3k+2 suy ra số tự nhiên n không là số chính phương

Ví dụ 2: Chứng minh rằngA = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 3n + 1,n \in\mathbb{N} ,n > 1 không phải là số chính phương

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l} A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 3n + 1 = \left( {{n^4} + 2{n^3} + {n^2}} \right) + \left( {{n^2} + 2n + 1} \right)\\ = {\left( {{n^2} + n} \right)^2} + {\left( {n + 1} \right)^2} > {\left( {{n^2} + n} \right)^2}\forall n > 1\\ \Rightarrow A > {\left( {{n^2} + n} \right)^2}\forall n > 1 \end{array}

Mặt khác

\begin{array}{l} {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + {n^2} + 2n + 1\\ = \left( {{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1} \right) + {n^2} = A + {n^2}\forall n > 1\\ \Rightarrow A < {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} \end{array}

Do đó{\left( {{n^2} + n} \right)^2} < A < {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}  . Ta có {\left( {{n^2} + n} \right)^2},{\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} là hai số tự nhiên liên tiếp nên A không thể là số chính phương

Ví dụ 3: Cho  A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{33}}. Hỏi A có là số chính phương hay không?

Hướng dẫn giải

Ta có :

\begin{array}{l} A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + {2^5} + ... + {2^{30}} + {2^{31}} + {2^{32}} + {2^{33}}\\ = 3 + {2^2}.\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + ... + {2^{30}}\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) \end{array}

Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3

Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó A không là số chính phương

Ví dụ 4: Chứng minh rằng A = {2012^{4n}} + {2013^{4n}} + {2014^{4n}} + {2015^{4n}} không phải là số chính phương với mọi số nguyên dương n?

Hướng dẫn giải

Ta có:

{2012^{4n}} \vdots 4;\,\,{2014^{4n}} \vdots 4\forall n \in {^\mathbb{}N *}

{2013^{4n}} = {2013^{4n}} - 1 + 1 = \left( {{{2013}^{4n}} - 1} \right) + 1 chia cho 4 dư 1

{2015^{4n}} = {2015^{4n}} - {\left( { - 1} \right)^{4n}} + 1 chia cho 4 dư 1

Do đó A = {2012^{4n}} + {2013^{4n}} + {2014^{4n}} + {2015^{4n}}chia cho 4 dư 2

Ta cóA \vdots 2  nhưng A không chia hết cho 4 , mà 2 là số nguyên tố. Suy ra A không là số chính phương

--------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Số chính phương ôn thi chuyên toán sẽ giúp các em học sinh củng cố, ghi nhớ lý thuyết, bài tập Hàm số bậc nhất, từ đó vận dụng giải các bài toán Toán lớp 9 một cách dễ dàng, chuẩn bị hành trang kiến thức vững chắc trong năm học lớp 9. Chúc các em học tốt.

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 119
Tìm thêm: Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần