Giaitoan.com Toán 12

Bài toán cực trị số phức Lý thuyết Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Bài toán cực trị số phức

Bài tập bài toán cực trị số phức đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi số phức lớp 12. Tài liệu bao gồm định nghĩa, công thức, cách biểu diễn và tính chất của số phức cùng với đó là các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Cực trị số phức. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Bài toán cực trị số phức

- Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - {z_1}} \right| = \left| {z - {z_2}} \right| . Tìm số phức thỏa mãn \left| {z - {z_0}} \right| nhỏ nhất

2. Phương pháp giải bài toán cực trị số phức

- Đặt M\left( z \right);A\left( {{z_1}} \right);B\left( {{z_2}} \right) là các điểm biểu diễn số phức z;{z_1};{z_2}  .

- Khi đó từ giả thiết \left| {z - {z_1}} \right| = \left| {z - {z_2}} \right| \Rightarrow MA = MB

- Tập hợp điểm biểu diện số phức z là đường trung trực \Delta của AB

- Gọi N\left( {{z_0}} \right)  là điểm biểu diễn số phức {z_0}

- Ta có: MN = \left| {z - {z_0}} \right| nhỏ nhất khi MNmin khi M là hình chiếu của N lên \Delta và M{N_{\min }} = d\left( {N;\Delta } \right)

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 4 - i} \right| = \left| {z + i} \right| . Tìm GTNN của  \left| {z + 1 + 3i} \right|

Hướng dẫn giải

Đặt M\left( z \right);A\left( {{z_1}} \right);B\left( {{z_2}} \right)  là các điểm biểu diễn số phức z;4 + i; - i . Ta được A ( 4;1) ; B (0;-1)

Từ giả thiết ta có MA = MB và tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB

Gọi I là trung điểm của AB. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{4 + 0}}{2}\\ {y_I} = \dfrac{{1 + - 1}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = 2\\ {y_I} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;0} \right)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB đi qua I (2;0)

Phương trình đường trung trực của AB đi qua I (2;0) nhận vecto pháp tuyến {\overrightarrow n _{AB}} = \left( { - 4; - 2} \right)

\left( \Delta \right): - 4\left( {{\rm{ }}x - 2} \right) - 2\left( {y + 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x - 2y + 8 = 0

Gọi N ( 1;3) là điểm biểu diễn số phức 1 + 3i nhỏ nhất khi M{N_{\min }}khi M là hình chiếu vuông góc của N lên

M{N_{\min }} = \frac{{\left| { - 4.1 - 2.3 + 8} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}

Ví dụ 2: Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z - 2i} \right| = \left| {z + 2} \right| . Gọi z là số phức thỏa mãn \left| {\left( {2 - i} \right)z + 5} \right|  . Tính \left| z \right|

Hướng dẫn giải

Gọi M (x;y) ; A ( 0; 2) ; B ( -2;0) là xác điểm biểu diễn số phức z; 2i và -2

Từ giả thiết ta được MA = MB nên M thuộc đường trung trực của đường thẳng AB

Gọi I là trung điểm của AB. Tọa độ của điểm I là:

\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{0 + - 2}}{2}\\ {y_I} = \dfrac{{0 + 2}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = - 1\\ {y_I} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1} \right)

Phương trình đường trung trực của AB đi qua I ( -1; 1) nhận vecto {\overrightarrow n _{AB}} = \left( { - 2; - 2} \right) có dạng

\left( \Delta \right): - 2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2x - 2y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0

Ta có:  \left| {\left( {2 - i} \right)z + 5} \right| = \left| {2 - i} \right|\left| {z + \dfrac{5}{{2 - i}}} \right| = \sqrt 5 \left| {x + 2 + i} \right|

Gọi N (-2;-1) là điểm biểu diễn số phức - 2{\rm{ }} - {\rm{ }}i \Rightarrow P = \sqrt 5 MN

Phương trình đường thẳng MN đi qua N ( -2; -1) nhận vec tơ  {\overrightarrow n _{AB}} = \left( {2; - 2} \right)làm vecto pháp tuyến:

2\left( {x + 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y + 2 = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}

--------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Số phức là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 51
Tìm thêm: Toán 12 Bài tập Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần