Bài 3.16 trang 44 Toán 10 tập 1 SGK Kết nối tri thức với cuộc sống Giải Toán 10 sách Kết nối tri thức

3 Đánh giá

Bài 3.16 trang 44 SGK Toán 10

Toán lớp 10 Bài 3.16 trang 44 là lời giải Bài tập cuối chương 3 SGK Toán 10 sách Kết nối tri thức với cuộc sống hướng dẫn chi tiết lời giải giúp cho các em học sinh tham khảo, ôn tập, củng cố kỹ năng giải Toán 10. Mời các em học sinh cùng tham khảo chi tiết.

Giải bài 3.16 Toán 10 trang 44

Bài 3.16 (SGK trang 44): Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$

b) $M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2MA.MB.\cos \widehat {AMB}$ và $M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC.\cos \widehat {AMC}$

c) $M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}$ (Công thức đường trung tuyến)

Hướng dẫn giải

Định lí cosin:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

b² = a² + c² – 2ac.cosB

c² = a² + b² – 2ab.cosC

Định lí sin:

Trong tam giác ABC có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Học sinh xem lại các công thức tính diện tích tam giác đã được học.

Lời giải chi tiết

Hình vẽ minh họa:

Bài 3.16 trang 44 Toán 10 tập 1 SGK Kết nối tri thức với cuộc sống

a) $\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$

Ta có: $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AMC} = {180^0} - \widehat {AMB}$

=> $\cos \widehat {AMB} = - \cos \left( {{{180}^0} - \widehat {AMB}} \right) = - \cos \widehat {AMC}$

=> $\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$ => Điều phải chứng minh

b) $M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2MA.MB.\cos \widehat {AMB}$ và $M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC.\cos \widehat {AMC}$

Xét tam giác ABM ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cosAMB

=> MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cosAMB (1)

Xét tam giác AMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cosAMC

=> MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cosAMC (2)

c) $M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}$ (Công thức đường trung tuyến)

Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:

MA² + MB² – AB² + MA² + MC² – AC²= 2MA.MB.cosAMB + 2MA.MC.cosAMC

$\begin{matrix} 2M{A^2} + \frac{{B{C^2}}}{4} - A{B^2} + \frac{{B{C^2}}}{4} - A{C^2} \hfill \\ = 2MA \cdot \frac{{BC}}{2} \cdot \cos \widehat {AMB} + 2MA \cdot \frac{{BC}}{2} \cdot \cos \widehat {AMC}{\text{ (}}MB = MC = \frac{{BC}}{2}{\text{ ) }} \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow 2{\text{M}}{{\text{A}}^2} + \frac{{{\text{B}}{{\text{C}}^2}}}{2} - {\text{A}}{{\text{B}}^2} - {\text{A}}{{\text{C}}^2} = 2{\text{MA}}{\text{.}}\frac{{{\text{BC}}}}{2}.(\cos \widehat {{\text{AMB}}} + \cos \widehat {{\text{AMC}}}) \hfill \\ \Leftrightarrow 2{\text{M}}{{\text{A}}^2} + \frac{{{\text{B}}{{\text{C}}^2}}}{2} - {\text{A}}{{\text{B}}^2} - {\text{A}}{{\text{C}}^2} = 0(\cos \widehat {{\text{AMB}}} + \cos \widehat {{\text{AMC}}} = 0) \Leftrightarrow 2{\text{M}}{{\text{A}}^2} = \frac{{2{\text{A}}{{\text{B}}^2} + 2{\text{A}}{{\text{C}}^2} - {\text{B}}{{\text{C}}^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

=> $M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}$

---> Câu hỏi tiếp theo: Bài 3.17 trang 44 SGK Toán 10

---> Bài liên quan: Giải Toán 10 Bài tập cuối chương 3

----------------------------------------

Trên đây là lời giải chi tiết Bài 3.16 Toán lớp 10 trang 44 Bài tập cuối chương 3 cho các em học sinh tham khảo, nắm được cách giải các dạng toán của Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Ngoài ra mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu: Giải Toán 10 sách CTST, Giải Toán 10 sách Cánh Diều, Hỏi đáp Toán 10

Chia sẻ bởi: