Giaitoan.com Toán 12

Luyện tập phương trình số phức Luyện tập Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Luyện tập phương trình số phức

Luyện tập số phức đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán Số phức lớp 12. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình số phức lớp 12. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Phương trình bậc hai với hệ số phức

- Xét phương trình: a{x^2} + bx + c = 0 với a,b,c \in \mathbb{C} và a \ne 0 . Đặt \Delta = {b^2} - 4ac = m \pm ni

- Gọi \varphi  là một căn bậc hai của \Delta. Ta có:

\varphi = \sqrt {\dfrac{{\left| \Delta \right| + m}}{2}} + i\sqrt {\dfrac{{\left| \Delta \right| - m}}{2}}với \left| \Delta \right| = \sqrt {{m^2} + {n^2}}

  • Vậy công thức nghiệm của phương trình là {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \varphi }}{{2a}}

2. Bài tập phương trình bậc hai với hệ số phức

Ví dụ 1: Kí hiệu {z_1};{z_2} là hai nghiệm của phương trình {z^2} + 4z + 5 = 0 . Tính {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}

Hướng dẫn giải

Ta có : \Delta = {4^2} - 4.5 = - 4 = {\left( { - 2i} \right)^2}

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \left[ \begin{array}{l} {z_1} = \dfrac{{ - 4 + ( - 2i)}}{2} = - 2 - i\\ {z_2} = \dfrac{{ - 4 - ( - 2i)}}{2} = - 2 + i \end{array} \right.

\begin{array}{l} {\left( {1 + \left( { - 2 - i} \right)} \right)^{100}} + {\left( {1 + \left( { - 2 + i} \right)} \right)^{100}} = {\left( { - 1 - i} \right)^{100}} + {\left( { - 1 + i} \right)^{100}}\\ = {\left[ {{{\left( { - 1 - i} \right)}^2}} \right]^{50}} + {\left[ {{{\left( { - 1 + i} \right)}^2}} \right]^{50}} = 2{i^{50}} + {\left( { - 2i} \right)^{50}} = - {2^{51}} \end{array}

Ví dụ 2: Cho hai số phức {z_1};{z_2} là các nghiệm của phương trình {z^2} + 4z + 13 = 0 . Tính mô đun của số phức \varpi = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)i + {z_1}.{z_2}

Hướng dẫn giải

Ta có: \Delta = {4^2} - 4.13 = - 36 = {\left( { - 6i} \right)^2}

Vậy phương trình có 2 nghiệm \left[ \begin{array}{l} {z_1} = \dfrac{{ - 4 + ( - 6i)}}{2} = - 2 - 3i\\ {z_2} = \dfrac{{ - 4 - ( - 6i)}}{2} = - 2 + 3i \end{array} \right.

Thay vào \varpi = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)i + {z_1}.{z_2} ta được  \varpi = \left( {\left( { - 2 - 3i} \right) + \left( { - 2 + 3i} \right)} \right)i + \left( { - 2 - 3i} \right).\left( { - 2 + 3i} \right) = - 4i + 13

Vậy \left| \varpi \right| = \sqrt {{4^2} + {{13}^2}} = \sqrt {185}

Ví dụ 3: Ký hiệu {z_0} là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình {z^2} + 2z + 5 = 0  . Tìm điểm biểu diễn của số phức \varpi = \overline {{z_0}} .{i^3}

Hướng dẫn giải 

Ta có: \Delta = {2^2} - 4.5 = - 16 = {\left( { - 4i} \right)^2}

Vậy phương trình có 2 nghiệm \left[ \begin{array}{l} {z_1} = \dfrac{{ - 2 + ( - 4i)}}{2} = - 1 - 2i\\ {z_2} = \dfrac{{ - 2 + ( - 4i)}}{2} = - 1 + 2i \end{array} \right.

Vì là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm nên  {z_0} = - 1 - 2i \Rightarrow \overline {{z_0}} = - 1 + 2i

Thay \varpi = \overline {{z_0}} .{i^3}  vào ta được \varpi = \left( { - 1 + 2i} \right){i^3} = 2 + i

Vậy điểm biểu diên số phức trên là M ( 2;1)

Ví dụ 4: Biết phương trình: {z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in } \right)\,\,\,\left( 1 \right ) có một nghiệm là z = - 2+i. Tính a – b

Hướng dẫn giải

Vì z = -2 + i là nghiệm của phương trình (1) nên ta được: \begin{array}{l} {\left( { - 2 + i} \right)^2} + a\left( { - 2 + i} \right) + b = 0 \Leftrightarrow 3 - 4i - 2a + ai + b = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = - 3\\ a = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 5 \end{array} \right. \end{array}

Vậy a – b = 4 – 5 = -1

---------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Phương trình số phức 12 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 12 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 09
Tìm thêm: Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần