Giaitoan.com Toán 10

Hệ phương trình đẳng cấp Giải hệ phương trình

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp

Giải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi giữa kì, cuối học kỳ môn Toán lớp 10. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Hệ phương trình đẳng cấp là gì ?

-  Hệ phương trình đẳng cấp hai ẩn là hệ phương trình có dạng: \left\{ \begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} + {d_1} = 0\\{a_2\ }{x^2} + {b_2\ }xy + {c_2\ }{y^2} + {d_2} = 0\end{array} \right.

- Trong đó x, y là ẩn {a_1};{a_2};{b_1};{b_2};{c_1};{c_2};{d_1};{d_2} là các hệ số

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

+ Bước 1: Xét trường hợp x = 0

+ Bước 2: Xét trường hợp ta đặt y = tx, thế vào hệ được hệ mới với ẩn t, x

+ Bước 3: Khử x, được phương trình bậc hai theo t

+ Bước 4: Tìm t từ đó tìm x, y

3. Bài tập giải hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 7\\ xy\left( {x - y} \right) = 2 \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Với x = 0, hệ đã cho vô nghiệm

Với x \ne 0 , ta đặt y = tx, hệ phương trình đã cho trở thành:

\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {\left( {tx} \right)^3} = 7\\ xtx\left( {x - tx} \right) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^3}\left( {1 - {t^3}} \right) = 7\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {x^3}t\left( {1 - t} \right) = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.

Nhận thấy t = 0 và t = 1 không phải là nghiệm của hệ phương trình nên ta chia từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được

\begin{array}{l} \dfrac{{1 - {t^3}}}{{t\left( {1 - t} \right)}} = \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {1 - t} \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right)}}{{t\left( {1 - t} \right)}} = \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}}{t} = \dfrac{7}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{t^2} + t + 1} \right) - 7t = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \dfrac{1}{2}\\ t = 2 \end{array} \right. \end{array}

Với t = \dfrac{1}{2} . Thay vào (1) ta được {x^3}\left( {1 - {t^3}} \right) = 7 \Leftrightarrow {x^3}\left( {1 - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^3}} \right) = 7 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = tx = \dfrac{1}{2}.2 = 1

Với t = 2. Thay vào (1) ta được: {x^3}\left( {1 - {2^3}} \right) = 7 \Leftrightarrow {x^3} = - 1 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = tx = 2. - 1 = - 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1;-2) và (2;1)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2xy - 3{y^2} = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\ x\left| x \right| + y\left| y \right| = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình. Đặt x = ty.

Khi đó phương trình (1) trở thành:

{\left( {ty} \right)^2} + 2\left( {ty} \right)y - 3{y^2} = 0 \Leftrightarrow {y^2}\left( {{t^2} + 2t - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 3 \end{array} \right.

Với t = 1 thì x = y. Thay vào phương trình (2) ta được

2y\left| y \right| = - 2 \Leftrightarrow y\left| y \right| = - 1 \Leftrightarrow y = - 1

Với t = 3 thì x = - 3y. Thay vào phương trình (2) ta được

3y\left| { - 3y} \right| + y\left| y \right| = - 2 \Leftrightarrow 8y\left| y \right| = 2 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{ - 3}}{2}

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: (-1;-1) và  \left( {\dfrac{{ - 3}}{2};\dfrac{1}{2}} \right)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 9\\ 2{x^2} + 2xy + {y^2} = 2 \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 9\\ 2{x^2} + 2xy + {y^2} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 4xy + 6{y^2} = 18\\ 18{x^2} + 18xy + 9{y^2} = 18 \end{array} \right. \Leftrightarrow 16{x^2} + 14xy + 3{y^2} = 0\,\,\,\left( 3 \right)

Đặt x = ty thay vào phương trình (3) ta được:

\begin{array}{l} 16{\left( {ty} \right)^2} + 14tyy + 3{y^2} = 0 \Leftrightarrow 16{\left( {ty} \right)^2} + 14t{y^2} + 3{y^2} = 0 \Leftrightarrow {y^2}\left( {16{t^2} + 14t + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \dfrac{{ - 3}}{8}\\ t = \dfrac{{ - 1}}{2} \end{array} \right. \end{array}

Với t = \dfrac{{ - 3}}{8} ta được x = \dfrac{{ - 3}}{8}y  . Thay vào phương trình (2) ta được:

2{\left( { - \dfrac{3}{8}y} \right)^2} + 2\left( { - \dfrac{3}{8}y} \right)y + {y^2} = 2 \Leftrightarrow y = \dfrac{{8\sqrt {17} }}{{17}} \Rightarrow x = \dfrac{{ - 3\sqrt {17} }}{{17}}

Với thay được . Thay vào phương trình (2) ta được:

2{\left( { - \dfrac{1}{2}y} \right)^2} + 2\left( { - \dfrac{1}{2}y} \right)y + {y^2} = 2 \Leftrightarrow y = \pm 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là \left( {\dfrac{{ - 3\sqrt {17} }}{{17}};\dfrac{{8\sqrt {17} }}{{17}}} \right);  (2; -1) và (-2; 1)

---------------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu giải hệ phương trình đẳng cấp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Lý thuyết Toán 10
Giải bài tập SGK Toán 10
Hỏi đáp Toán 10

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 06
Tìm thêm: Toán 10 Chuyên đề Toán 10
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần