Giaitoan.com Toán 12

Các phép toán trên số phức Lý thuyết Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Các phép toán trên số phức

Các phép toán trên số phức đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán Số phức 12. Tài liệu bao gồm công thức số phức, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Số phức 12. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Các phép toán trên số phức

a)  Phép cộng, phép trừ số phức

- Muộn cộng ( trừ) các số phức ta cộng ( trừ) phần thực theo phần thực, phần ảo theo phần ảo

+ a + bi + c + di = (a + c) + ( b + d) i

+ ( a + bi) - ( c + di) = (a - c) + ( b - d) i

b) Phép nhân số phức

- Muốn nhân hai số phức ta thực hiện theo quy tắc của phép nhân đa thức

- Chú ý: {i^2} = - 1

- \left( {a + bi} \right).\left( {c + di} \right) = ac + adi + cbi - bd = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + cb} \right)i

c) Phép chia số phức

- Cho hai số phức  {z_1} = a + bi và {z_2} = c + di . Thực hiện phép chia

\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{z_2}.\overline {{z_2}} }} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{\left( {c + di} \right)\left( {c - di} \right)}} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{\left( {ac + bd} \right) - \left( {ad - bc} \right)i}}{{{c^2} + {d^2}}} = m + ni

- Chú ý: + Số phức nghịch đảo của z là \dfrac{1}{z}

2. Bài tập phép toán trên số phức

Ví dụ 1: Thực hiện phép tinh sau:

\begin{array}{l} a)\,\left( {3 - 5i} \right) + \left( {2 - i} \right)\\ b)\,\left( { - 2 - 3i} \right) - \left( {1 - 7i} \right)\\ c)\,\left( {2 - 2i} \right) - \left( { - 3 + 3i} \right)\\ d)\left( {1 + 2i} \right)\left( {2 - 3i} \right) \end{array}

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l} a)\,\left( {3 - 5i} \right) + \left( {2 - i} \right) = \left( {3 + 2} \right) + \left( { - 5 - 1} \right)i = 5 - 6i\\ b)\,\left( { - 2 - 3i} \right) - \left( {1 - 7i} \right) = \left( { - 2 - 1} \right) + \left( { - 3 + 7} \right)i = - 3 + 4i\\ c)\,\left( {2 - 2i} \right) - \left( { - 3 + 3i} \right) = \left( {2 - \left( { - 3} \right)} \right) + \left( { - 2 - 3} \right)i = 5 - 5i\\ d)\left( {1 + 2i} \right)\left( {2 - 3i} \right) = 1.2 + \left( { - 1} \right).3i + 2.2i - 2i.\left( { - 3i} \right) = 8 + i \end{array}

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia các số phức sau:

\begin{array}{l} a)\,\dfrac{{3 + 2i}}{{2 - 3i}}\\ b)\,\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}\\ c)\,\dfrac{{2 + i}}{{2 - 3i}} \end{array}

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l} a)\,\dfrac{{3 + 2i}}{{2 - 3i}} = \dfrac{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{\left( {2 - 3i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}} = \dfrac{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{{2^2} + {3^2}}} = \dfrac{{13i}}{{{2^2} + {3^2}}} = i\\ b)\,\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}} = \dfrac{{\left( {4 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}} = \dfrac{{\left( {4 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{{1^2} + {1^2}}} = \dfrac{{2 + 6i}}{{{1^2} + {1^2}}} = \dfrac{{2 + 6i}}{2} = 1 + 3i\\ c)\,\dfrac{{2 + i}}{{2 - 3i}} = \dfrac{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{\left( {2 - 3i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}} = \dfrac{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{{2^2} + {3^2}}} = \dfrac{{1 + 8i}}{{13}} = \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{8}{{13}}i \end{array}

Ví dụ 3: Tìm nghịch đảo của số phức z biết:

\begin{array}{l} a)\,z = 2 - 4i\\ b)\,z = i\\ c)z = \,5 - i\sqrt 3 \end{array}

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l}a)\,z = 2 - 4i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{2 - 4i}} = \dfrac{{\left( {2 + 4i} \right)}}{{\left( {2 - 4i} \right)\left( {2 + 4i} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {2 + 4i} \right)}}{{20}} = \dfrac{2}{{20}} + \dfrac{{4i}}{{20}} = \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{5}i\\b)\,z = i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{i} = \dfrac{{ - i}}{{ - i.i}} = \dfrac{{ - i}}{1} = - i\\c)z = \,5 - i\sqrt 3 \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{5 - i\sqrt 3 }}\\ = \dfrac{{\left( {5 - i\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 - i\sqrt 3 } \right)\left( {5 + i\sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{\left( {5 - i\sqrt 3 } \right)}}{{{5^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {5 - i\sqrt 3 } \right)}}{{28}} = \dfrac{5}{{28}} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{{28}}i\end{array}

Ví dụ 4: Tính:

\begin{array}{l} a)\,z = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{3 + 2i}}\\ b)\,\,z = {\left( { - 2 + i} \right)^3} \end{array}

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l}a)\,z = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{3 + 2i}} = \dfrac{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}} + \dfrac{{\left( {1 - i} \right)\left( {3 - 2i} \right)}}{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {3 - 2i} \right)}}\\ = \dfrac{{1 + 5i}}{2} + \dfrac{{1 - 5i}}{{13}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}i + \dfrac{1}{{13}} - \dfrac{5}{{13}}i = \dfrac{{15}}{{26}} + \dfrac{{55}}{{26}}i\\b)\,\,z = {\left( { - 2 + i} \right)^3} = {\left( { - 2} \right)^3} + 3.{\left( { - 2} \right)^2}i + 3.\left( { - 2} \right){\left( i \right)^2} + {\left( i \right)^3} = - 8 + 12i + 6 - i = - 2 + 11i\end{array}

---------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Các phép toán trên số phức 12 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 12 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

  • 19 lượt xem
Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Tìm thêm: Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Chuyên đề Toán 12