Giaitoan.com Toán 11 Toán 11 Chân trời sáng tạo

Bài 4 Trang 70 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Bài 4 Trang 70 Toán 11 Tập 1 CTST

Bài 4 Trang 70 Toán 11 CTST Tập 1 là lời giải chi tiết trong bài Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tạo giúp cho các em học sinh tham khảo, ôn tập, củng cố kỹ năng giải Toán 11. Mời các em học sinh cùng tham khảo chi tiết.

Giải Bài 4 Trang 70 Toán 11 Tập 1

Bài 4 (sgk trang 70): Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu an là diện tích của hình vuông thứ n và Sn là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính an, Sn(n = 1,2,3,...) là tìm limSn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu pn là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính pn là Qn(n = 1,2,3,...) và tìm limQn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Hướng dẫn:

Cho lim un = a, lim vn = b và c là hằng số. Khi đó:

lim(un + vn) = a + b

lim(c . un) = c . a

\lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b} \ \ (b \ne 0)

lim(un - vn) = a - b

lim(un . vn) = a . b

Nếu u_n \ge 0, ∀n \in \mathbb{N^*} thì a\ge 0 và lim\sqrt{u_n} =\sqrt{a}

Vận dụng các giới hạn cơ bản:

  • \lim\frac{1}{n^k}=0, với k nguyên dương bất kì
  • \lim q^n=0, với q là số thực thỏa mãn |q| < 1

Nếu un = c (c là hằng số) thì lim un = lim c = c.

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là:

S=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...\ =\ \frac{u_1}{1-q}.

Lời giải chi tiết:

Hình vuông đầu tiên có cạnh u1 = 1

Hình vuông thứ hai có cạnh u_2=\frac{u_1}{2}. \sqrt{2}=\frac{u_1}{\sqrt{2} }

Hình vuông thứ ba có cạnh u_3=\frac{u_2}{2}. \sqrt{2} =\frac{u_2}{\sqrt{2} }= \frac{u_1}{(\sqrt{2})^2 }

...

Hình vuông thứ n có cạnh u_n=\frac{1}{(\sqrt{2})^{n-1} }

a) Diện tích của hình vuông thứ n là: a_n=u_n^2=\frac{1}{2^{n-1}}

Do đó tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên là:

S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=1.\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)

Vậy \lim S_n=\lim\left [ 2\left(1-\frac{1}{2^n}\right) \right ] =\lim2 -2\lim\left(\frac{1}{2^n}\right)=2

b) Chu vi của hình vuông thứ n là: p_n=4.\frac{1}{\left(\sqrt{2}\right)^{n-1}}

Do đó tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên là:

Q_n=4+4.\frac{1}{\sqrt{2}}+4.\frac{1}{(\sqrt{2})^2}+...+4.\frac{1}{\left(\sqrt{2}\right)^{n-1}}

Q_n=4.\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{(\sqrt{2})^2}+...+\frac{1}{\left(\sqrt{2}\right)^{n-1}}\right)

Q_{n}=4.\frac{1-\frac{1}{(\sqrt{2)} ^n}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}

Vậy \lim Q_{n}=\lim \left [4.\frac{1-\frac{1}{(\sqrt{2)} ^n}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}} } \right ]

= \frac{4}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} .\lim \left ( 1-\frac{1}{(\sqrt{2)} ^n} \right )

=\frac{4}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} =4(2+\sqrt{2}).

---> Câu hỏi cùng bài:

---> Bài tiếp theo: Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 3 Bài 2: Giới hạn của hàm số

----------------------------------------

Trên đây là lời giải chi tiết Bài 4 Trang 70 Toán 11 CTST Tập 1 nằm trong bài Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số cho các em học sinh tham khảo, nắm được cách giải các dạng bài tập của Chương 3. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập chuẩn bị cho các bài thi giữa và cuối học kì lớp 11. Ngoài ra Giaitoan mời thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo,... Chúc các em học tốt.

Chia sẻ bởi: Bọ Cạp
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 21
Tìm thêm: Toán 11 Toán 11 Chân trời sáng tạo
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần