Giaitoan.com Toán 12

Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa Công thức Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Tập xác định của hàm số lũy thừa

Cách tìm tập xác định của hàm số lũy thừa đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán hàm số Toán 12. Tài liệu bao gồm công thức lũy thừa, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Tính đơn điệu của hàm số lớp 12. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Cách tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

A. Hàm số lũy thừa

Hàm số y = {x^\alpha } với \alpha \in \mathbb{R}, được gọi là hàm số lũy thừa.

B. Tập xác định hàm số lũy thừa

Tập xác định của hàm số y = {x^\alpha } là:

\mathbb{R} với α là số nguyên dương

\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} với α là số nguyên âm hoặc bằng 0.

\left( {0; + \infty } \right) với α không nguyên.

C. Bài tập tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = {\left( {2{x^3} + m{x^2} + x} \right)^{\sqrt 2 }} xác định trên miền (0; 2022)

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên miền (0; 2022)

\Leftrightarrow 2{x^3} + m{x^2} + x > 0{\text{ }}\forall x \in \left( {0;2022} \right)

\Leftrightarrow m > - 2x - \frac{1}{{{x^2}}}{\text{ }}\forall x \in \left( {0;2022} \right)

Xét hàm số f\left( x \right) = - 2x - \frac{1}{{{x^2}}}{\text{ }}\forall x \in \left( {0;2022} \right)

Ta có f'\left( x \right) = - 2 + \frac{2}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1

Ta có bảng biến thiên

Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Dựa vào bảng biến thiên ta có M > -3. Do đó có 2 giá trị nguyên âm thỏa mãn.

Đáp án C

Ví dụ 2: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{1}{2}}} xác định với mọi x \in \mathbb{R}?

A. (-4; 4)

B. (-2; 2)

C. [-4; 4]

D. [-2; 2]

Hướng dẫn giải

Hàm số y = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{1}{2}}} xác định với mọi x \in \mathbb{R}

2{x^2} + mx + 2 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2} - 16 < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - 4;4} \right)

Đáp án A

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \left( { - 2021;2021} \right) để hàm số y = {\left( {{x^4} - 2{x^3} + \left( {3 - m} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m + 2} \right)^{\sqrt {2021} }} có tập xác định là D = \mathbb{R}.

A. 2022

B. 2023

C. 2019

D. 2020

Hướng dẫn giải

Để hàm số có tập xác định là \mathbb{R} thì

{x^4} - 2{x^3} + \left( {3 - m} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}

\Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x + 2 > m\left( {{x^2} - x + 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}

\Leftrightarrow m < \frac{{{x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2} - x + 1}},\forall x \in \mathbb{R}

\Leftrightarrow m < {x^2} - x + 1 + \frac{1}{{{x^2} - x + 1}},\forall x \in \mathbb{R}

Ta có:

{x^2} - x + 1 + \frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \geqslant 2,\forall x \in \mathbb{R}

{x^2} - x + 1 + \frac{1}{{{x^2} - x + 1}} = 2 khi x = 0 hoặc x = 1

Vậy m < 2, vì m \in \left( { - 2021;2021} \right)

=> -2021 < m < 2 nên có 2022 giá trị.

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho hàm số f\left( x \right) = {\left( { - {x^3} + 15{x^2} - 78x + 141 + m + 5\sqrt[3]{{2x - 9 + m}}} \right)^{\frac{{2022}}{{2021}}}} với m là tham số. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2020; 2020] để hàm số xác định trên đoạn [2; 4]?

A. 2020

B. 2024

C. 2021

D. 2022

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên đoạn [2; 4] khi

- {x^3} + 15{x^2} - 78x + 141 + m + 5\sqrt[3]{{2x - 9 + m}} > 0

\Leftrightarrow 2x - 9 + m + 5\sqrt[3]{{2x - 9 + m}} > {x^3} - 15{x^2} + 80x - 150

\Leftrightarrow 2x - 9 + m + 5\sqrt[3]{{2x - 9 + m}} > {x^3} - 15{x^2} + 80x - 150

\Leftrightarrow 2x - 9 + m + 5\sqrt[3]{{2x - 9 + m}} > {\left( {x - 5} \right)^3} + 5\left( {x - 5} \right)

\Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{2x - 9 + m}}} \right)^3} + 5\sqrt[3]{{2x - 9 + m}} > {\left( {x - 5} \right)^3} + 5\left( {x - 5} \right)

\Leftrightarrow g\left( {\sqrt[3]{{2x - 9 + m}}} \right) > g\left( {x - 5} \right)với g(t) = {t^3} + 5t

Vì g(t) đồng biến trên R nên

g\left( {\sqrt[3]{{2x - 9 + m}}} \right) > g\left( {x - 5} \right) \Leftrightarrow \sqrt[3]{{2x - 9 + m}} > x - 5 \Leftrightarrow m > {\left( {x - 5} \right)^3} - 2x + 9

=> - {x^3} + 15{x^2} - 78x + 141 + m + 5\sqrt[3]{{2x - 9 + m}} > 0,\forall x \in \left[ {2\;;\;4} \right] khi và chỉ khi m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {2\;;\;4} \right]} h\left( x \right) với h\left( x \right) = {\left( {x - 5} \right)^3} - 2x + 9

Ta có h'\left( x \right) = 3{\left( {x - 5} \right)^2} - 2

\Rightarrow h''\left( x \right) = 6\left( {x - 5} \right) = 6x - 30 < 0,\forall x \in \left[ {2\;;\;4} \right]

=> h'(x) nghịch biến trên [2; 4]

\Rightarrow h'\left( x \right) \geqslant h'\left( 4 \right) = 1 > 0,\forall x \in \left[ {2\;;\;4} \right]

=> h(x) đồng biến trên [2; 4]

Vì thế \mathop {\max }\limits_{\left[ {2\;;\;4} \right]} h\left( x \right) = h\left( 4 \right) = 0

Vậy m > 0 nên số nguyên m thuộc đoạn [-2020; 2020] thỏa mãn đề bài gồm 2020 số nguyên.

Đáp án A

----------------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Hàm số lũy thừa Toán 12 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 12 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Cự Giải
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 148
Tìm thêm: Toán 12 Công thức Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần