Giaitoan.com Toán 12

Luyện tập các phép toán cơ bản trên tập số phức Luyện tập Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Luyện tập các phép toán cơ bản trên tập số phức

Luyện tập các phép toán cơ bản trên tập số phức đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán Số phức lớp  12. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Số phức lớp 12. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Các phép toán trên số phức

a) Phép cộng, phép trừ số phức

- Muộn cộng ( trừ) các số phức ta cộng ( trừ) phần thực theo phần thực, phần ảo theo phần ảo

+ a + bi + c + di = (a + c) + ( b + d) i

+ ( a + bi) - ( c + di) = (a - c) + ( b - d) i

b) Phép nhân số phức:

- Muốn nhân hai số phức ta thực hiện theo quy tắc của phép nhân đa thức

- Chú ý: {i^2} = - 1

- \left( {a + bi} \right).\left( {c + di} \right) = ac + adi + cbi - bd = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + cb} \right)i

c) Phép chia số phức:

- Cho hai số phức {z_1} = a + bi và {z_2} = c + di . Thực hiện phép chia

\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{z_2}.\overline {{z_2}} }} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{\left( {c + di} \right)\left( {c - di} \right)}} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}} = \dfrac{{\left( {ac + bd} \right) - \left( {ad - bc} \right)i}}{{{c^2} + {d^2}}} = m + ni

2. Bài tập các phép toán số phức

Ví dụ 1: Cho hai số phức {z_1} = - 2 + 3i  và {z_2} = 3 - i  . Tính mô đun của số phức z = {z_1} + {z_2}

Hướng dẫn giải

z = {z_1} + {z_2} = - 2 + 3i + 3 - i = 1 + 2i

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn \overline z = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^2} + {\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)^2} . Tìm số phức \varpi = iz + 3

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{array}{l} \overline z = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^2} + {\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)^2} = {1^2} + {\left( {\sqrt 3 i} \right)^2} + 2\sqrt 3 i + {1^2} + {\left( {\sqrt 3 i} \right)^2} - 2\sqrt 3 i\\ = 1 - 3 + 1 - 3 = - 4 \Rightarrow z = - 4 \end{array}

Vậy \varpi = iz + 3 = - 4i + 3

Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {1 + i} \right)\left( {z - i} \right) + 2z = 2i . Tìm số phức \varpi = z + 1

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{array}{l}\left( {1 + i} \right)\left( {z - i} \right) + 2z = 2i \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right)z + \left( {1 + i} \right)\left( { - i} \right) + 2z = 2i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right)z + 2z = 2i - \left( {1 + i} \right)\left( { - i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + i + 2} \right)z = 2i - \left( {1 + i} \right)\left( { - i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 + i} \right)z = 2i - \left( {1 - i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 + i} \right)z = - 1 + 3i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{ - 1 + 3i}}{{3 + i}} = \dfrac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {3 - i} \right)}}{{\left( {3 + i} \right)\left( {3 - i} \right)}}\\ \Leftrightarrow z\dfrac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {3 - i} \right)}}{{{3^2} + {1^2}}} = \dfrac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {3 - i} \right)}}{{10}} = i\\ \Rightarrow \varpi = 1 + i\end{array}

Ví dụ 4: Tìm phần ảo của số phức \overline z thỏa mãn: {\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z

Hướng dẫn giải

\begin{array}{l} {\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\\ 2i\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\\ \left( {4i + 2} \right)z - \left( {1 + 2i} \right)z = 8 + i\\ \left( {\left( {4i + 2} \right) - \left( {1 + 2i} \right)} \right)z = 8 + i\\ \left( {1 + 2i} \right)z = 8 + i\\ z = \dfrac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}} = \dfrac{{10 - 15i}}{{{1^2} + {2^2}}} = 2 - 3i \end{array}

Vậy phần ảo của số phức \overline zlà 3

Ví dụ 5: Tìm số phức z thỏa mãn \left\{ \begin{array}{l} \left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \\ z.\overline z = 25 \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Đặt số phức cần tìm là

z = a + bi\,\,\,\left( {a;b \in } \right) \Rightarrow \overline z = a - bi\,\,\,\left( {a;b \in R } \right) \Rightarrow z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2} = 25\,\,\,\left( 1 \right)

Ta có:

\begin{array}{l} \left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {a + bi - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow \left| {a + bi - 2 - i} \right| = \sqrt {10} = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a - 2b + 5 = 10\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a - 2b = 5\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array}

Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình:

\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 25\,\\ {a^2} + {b^2} - 4a - 2b = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 25\,\\ 25 - 4a - 2b = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 25\,\\ - 4a - 2b = - 20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 5\\ b = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 4 \end{array} \right. \end{array} \right.

Vậy 2 số phức cần tìm là {z_1} = 5;{z_2} = 3 + 4i

Hi vọng Luyện tập các phép toán cơ bản trên tập số phức 12 là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 12 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 11
Tìm thêm: Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần