Giaitoan.com Toán 12

Luyện tập biểu diễn hình học của số phức Luyện tập Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Luyện tập biểu diễn hình học của số phức

Bài tập số phức luyện tập biểu diễn hình học của số phức đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi số phức lớp 12. Tài liệu bao gồm định nghĩa, công thức, cách biểu diễn và tính chất của số phức cùng với đó là các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Số phức. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Ví dụ 1: Tập hợp tất cả các điểm M biểu diễn số phức \left| {z - i} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z} \right| là một đường tròn. Tìm bán kính của đường tròn đó

Gọi số phức z = x + yi  . Khi đó ta có:

\begin{array}{l} \left| {z - i} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z} \right| \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - b} \right) + \left( {a + b} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}} \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a + b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2b + 1 = {a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2b + 1 = 2\\ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 2 \end{array}

Vậy tập hơp điểm M là đường tròn có bán kính là R = \sqrt 2

Ví dụ 2: Điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \left( {z + 2i} \right)\left( {\overline z - 1} \right) là số thực là một đường thẳng. Tính khoảng cách từ điểm M ( 1;-1) đến đường thẳng đó

Hướng dẫn giải

Gọi số phức z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi . Khi đó ta có:

\begin{array}{l} \left( {z + 2i} \right)\left( {\overline z - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + yi + 2i} \right)\left( {x - yi - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + \left( {y + 2} \right)i} \right)\left( {x - 1 - yi} \right)\\ = x\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 2} \right)y + \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) - xy} \right]i \end{array}

Vì số phức z là một số thực nên  \left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) - xy = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 2 = 0

Vậy tập hơp các điểm biểu diễn số phức z là 1 đường thẳng có phương trình \left( \Delta \right):2x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0

Ta có: {d_{\left( {M;\left( \Delta \right)} \right)}} = \dfrac{{\left| {2.1{\rm{ }}--{\rm{ }}\left( { - 1} \right){\rm{ }}--{\rm{ }}2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}{\rm{ }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}

Ví dụ 3: Xét các số phức z thỏa mãn \left( {\overline z + i} \right)\left( {z + 2} \right)là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm và bán kính là bao nhiêu? ( Trích đề thi THPT Quốc gia 2018 )

Hướng dẫn giải

Gọi số phức z = x + yi

Khi đó ta có:

\begin{array}{l} \left( {\overline z + i} \right)\left( {z + 2} \right) = \left( {x - yi + i} \right)\left( {x + yi + 2} \right) \Leftrightarrow \left( {x - \left( {y - 1} \right)i} \right)\left( {x + 2 + yi} \right)\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y - 1} \right) - \left( {\left( {y - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + xy} \right)i \end{array}

Vì z là một số thuần ảo nên

\begin{array}{l} x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - y + \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} = \dfrac{5}{4} \end{array}

Vậy tâm I\left( { - 1;\dfrac{1}{4}} \right);R = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}

Ví dụ 4: Tìm phương trình đường Elip là tập hợp tất cả các điểm N biểu diễn số phức: \left| {z + 4} \right| + \left| {z - 4} \right| = 10

Hướng dẫn giải

Gọi số phức lần lượt là các điểm biểu diễn số -4 ; 4 và z

Ta có \left| {z + 4} \right| + \left| {z - 4} \right| = 10 \Leftrightarrow M{F_1} + M{F_2} = 10 > {F_1}{F_2} = 8

Khi đó tập hợp điểm M là Elip có \left\{ \begin{array}{l} 2a{\rm{ }} = {\rm{ }}10\\ 2c{\rm{ }} = {\rm{ }}8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 5\\ b = 4\\ b = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3 \end{array} \right.

Phương trình Elip là: \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1

-------------------------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Số phức là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 10
Tìm thêm: Toán 12 Bài tập Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần