Giaitoan.com Toán 10

Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng vectơ Luyện tập Toán 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng vectơ

Bài tập Toán 10: Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng vectơ là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi học kỳ lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Phương pháp giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng vectơ

1. Định lý:

- Định lý 1: Cho trước bộ số thực (x; y) ((x;y;z)). Khi đó tồn tại duy nhất một vecto nhận bộ số đó làm tọa độ trong hệ trục tọa độ Đề - các vuông góc Oxy hoặc Oxyz

- Định lý 2:

+ Trong hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxy (Oxyz), cho hai vec tơ \overrightarrow u = \left( {{x_1},{y_1}} \right), \overrightarrow v = \left( {{x_2},{y_2}} \right) ,\overrightarrow u = \left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right), \overrightarrow v = \left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right) .

+ Hai vecto \overrightarrow u ,\,\,\,\overrightarrow v cùng phương khi và chỉ khi \overrightarrow u = k\overrightarrow v \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R} } \right)

  • Nếu k = 0 thì \overrightarrow u = \overrightarrow v \,\, = \overrightarrow 0
  • Nếu k > 0 thì \overrightarrow u \uparrow \uparrow \overrightarrow v
  • Nếu k < 0 thì \overrightarrow u \uparrow \downarrow \overrightarrow v

- Định lý 3:

+ Trong hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxy ( Oxyz), cho hai vecto , , , . Khi đó thỏa mãn các bất đẳng thức sau:

\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \ge \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right|\\ \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right|\\ \left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right| \ge \overrightarrow u .\overrightarrow v \end{array}

Các đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai vec tơ \overrightarrow u ,\,\,\,\overrightarrow vcùng hướng

II. Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng vectơ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1. \sqrt {{x^2} - 2x + 5} + \sqrt {{x^2} + 2x + 10} = \sqrt {29}
2. \sqrt {{x^2} - 2x + 2} + \sqrt {4{x^2} + 12x + 26} = \sqrt {9{x^2} + 12x + 29}
3. \sqrt {x - 1} + x - 3 \ge \sqrt {2{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 2x - 2}
4. x\sqrt {3x + 2} + \sqrt {4 - x} = \sqrt {2\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}

Hướng dẫn giải

1.

\begin{array}{l} \sqrt {{x^2} - 2x + 5} + \sqrt {{x^2} + 2x + 10} = \sqrt {29} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 1 + 4} + \sqrt {{x^2} + 2x + 1 + 9} = \sqrt {29} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {2^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {29} \,\left( 1 \right) \end{array}

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai vecto: \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow u = \left( {x - 1;2} \right)\\ \overrightarrow v = \left( { - 1 - x;3} \right) \end{array} \right.

Khi đó ta được: \left\{ \begin{array}{l} \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{x^2} - 2x + 5} \\ \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{x^2} + 2x + 10} \\ \overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( { - 2;5} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| = \sqrt {29} \end{array} \right. \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u + \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right|\left( * \right)

Giải (*) ta được: \overrightarrow u \uparrow \uparrow \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow u = k\overrightarrow v \left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 = k\left( { - 1 - x} \right)\\ 2 = k.3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{5}\\ k = \dfrac{2}{3} \end{array} \right.

Vậy phương trình có nghiệm x = \dfrac{1}{5}

2. \sqrt {{x^2} - 2x + 2} + \sqrt {4{x^2} + 12x + 26} = \sqrt {9{x^2} + 12x + 29} \,\left( 1 \right)

Trong mặt phẳng tọa độ chọn 2 vec tơ: \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = \left( {x - 1;1} \right)\\\overrightarrow v = \left( {2x + 3;4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {3x + 2;5} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \\\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {4{x^2} + 12x + 26} \\\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| = \sqrt {9{x^2} + 12x + 29} \end{array} \right. \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow u = k\overrightarrow v \,\,\left( {k > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = k\left( {2x + 3} \right)\\1 = k.4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{2}\\k = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\end{array}

Vậy phương trình có nghiệm x = \dfrac{7}{2}

3. \sqrt {x - 1} + x - 3 \ge \sqrt {2{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 2x - 2} \,\left( 1 \right)

ĐKXĐ: x \ge 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn 2 vec tơ: \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow u = \left( {x - 3;\sqrt {x - 1} } \right)\\ \overrightarrow v = \left( {1;1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow u = \left( {\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + x - 1} } \right)\\ \overrightarrow v = \sqrt 2 \\ \overrightarrow u .\overrightarrow v = \sqrt {x - 1} + x - 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v \ge \left| {\overrightarrow u } \right|\left| {.\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow u \uparrow \uparrow \overrightarrow v \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = x - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x - 1} = x - 3\\ x - 3 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\\ x - 3 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 7x + 10 = 0\\ x - 3 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x = 2\left( l \right)\\ x = 5 \end{array} \right.\\ x \ge 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5 \end{array}

Vậy phương trình có nghiệm x = 5

4. x\sqrt {3x + 2} + \sqrt {4 - x} = \sqrt {2\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \,\left( 1 \right)

ĐKXĐ: \dfrac{{ - 2}}{3} \le x \le 4

Trong mặt phẳng Oxy chọn 2 vecto: \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow u = \left( {x;1} \right)\\ \overrightarrow v = \left( {\sqrt {3x + 2} ;\sqrt {4 - x} } \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow u = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\ \overrightarrow v = \sqrt {{{\left( {\sqrt {3x + 2} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {4 - x} } \right)}^2}} \\ \overrightarrow u .\overrightarrow v = \sqrt {2\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v \ge \left| {\overrightarrow u } \right|\left| {.\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow u \uparrow \uparrow \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = k\sqrt {3x + 2} \\ 1 = k\sqrt {4 - x} \end{array} \right. \Leftrightarrow x\sqrt {4 - x} = \sqrt {3x + 2} \end{array}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^2}\left( {4 - x} \right) = 3x + 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^3} - 4{x^2} + 3x + 2 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 1 - \sqrt 2 \left( l \right)\\ x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}

Vậy phương trình có nghiệm x= 2 hoặc x = 1 + \sqrt 2

----------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng vectơ sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 88
Tìm thêm: Toán 10
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần