Giaitoan.com Toán 10

Giải phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa Luyện tập Toán 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Giải phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa

Giải phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi, đề kiểm tra giữa kì, cuối kỳ môn Toán lớp 10. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Phương pháp giải phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa

- Nếu {x^2} + {y^2} = 1 ta đặt \left\{ \begin{array}{l} x = \sin t\\ y = cost \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \left[ {0;2\pi } \right]

- Nếu {x^2} + {y^2} = {a^2}\,\,\,\left( {a > 0} \right)  ta đặt \left\{ \begin{array}{l} x = a\sin t\\ y = acost \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \left[ {0;2\pi } \right]

- Nếu \left| x \right| \le 1 ta đặt \left[ \begin{array}{l}x = \sin t\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \left[ {\dfrac{{ - \pi }}{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\\x = cost\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \left[ {0;\pi } \right]\end{array} \right.

- Nếu \left| x \right| \le a  ta đặt \left[ \begin{array}{l} x = a\sin t\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \left[ {\dfrac{{ - \pi }}{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\\ x = acost\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \left[ {0;\pi } \right] \end{array} \right.

- Nếu \left| x \right| \le 1  hoặc bài toán có chứa \sqrt {{x^2} - 1} thì ta đặt x = \dfrac{1}{{cost}}với  t \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \cup \left[ {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)

- Nếu \left| x \right| \ge a hoặc bài toán có chứa \sqrt {{x^2} - {a^2}} thì ta đặt với  t \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \cup \left[ {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)

- Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức \sqrt {{x^2} + 1} thì ta đặt x = \tan t\,\,\,\,\,\,t \in \left( {\dfrac{{ - \pi }}{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)

- Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức \sqrt {{x^2} + {a^2}} thì đặt x = a\tan t\,\,\,\,\,\,t \in \left( {\dfrac{{ - \pi }}{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)

2. Bài tập giải phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 4{x^3} - 3x = \sqrt {1 - {x^2}}  (1)

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: - 1 \le x \le 1

Đặt x = cost,\,\,\,\,t \in \left[ {0;\pi } \right] ta được: \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt {1 - {{\left( {\cos t} \right)}^2}} = \sqrt {{{\sin }^2}t} = \left| {\sin t} \right| = \sin t

Thay vào phương trình (1) ta được:

\begin{array}{l}4co{s^3}t - 3{\mathop{\rm c}\nolimits} ost = \sin t\\ \Leftrightarrow cos3t = \sin t\\ \Leftrightarrow cos3t = c\,o\,s\left( {\dfrac{\pi }{2} - t} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3t = \dfrac{\pi }{2} - t + 2k\pi \\3t = - \dfrac{\pi }{2} + t + 2k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4t = \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \\2t = - \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\t = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{R} } \right)\end{array}

Với \,t \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \,\,c\,o\,s\dfrac{\pi }{8};\\ x = c\,o\,s\dfrac{{5\pi }}{8}\\ x = \,c\,o\,s\dfrac{{3\pi }}{4} = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.

Vậy phương trình có nghiệm  \,x = \,\,c\,o\,s\dfrac{\pi }{8};x = c\,o\,s\dfrac{{5\pi }}{8};\,x = \,c\,o\,s\dfrac{{3\pi }}{4} = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}

Ví dụ 2: Giải phương trình: \sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x\left( {1 + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: 1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left| x \right| \le 1

Đặt x = \sin \alpha ;\alpha \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]

Khi đó phương trình trở thành:

\begin{array}{l} \sqrt {1 + \sqrt {1 - {{\left( {\sin \,\alpha } \right)}^2}} } = \sin \alpha \left( {1 + 2\sqrt {1 - {{\left( {\sin \alpha } \right)}^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + cos\,\alpha } = \sin \alpha \left( {1 + 2cos\,\alpha } \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 cos\,\dfrac{\alpha }{2} = \sin \alpha + 2\sin \alpha cos\,\alpha \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 cos\,\dfrac{\alpha }{2} = \sin \alpha + \sin 2\alpha \Leftrightarrow \sqrt 2 cos\,\dfrac{\alpha }{2} = 2.\sin \dfrac{{3\alpha }}{2}cos\frac{\alpha }{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 cos\,\dfrac{\alpha }{2} - 2.\sin \dfrac{{3\alpha }}{2}cos\dfrac{\alpha }{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 cos\,\dfrac{\alpha }{2}\left( {1 - \sqrt 2 .\sin \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} cos\,\dfrac{\alpha }{2} = 0\\ 1 - \sqrt 2 .\sin \frac{{3\alpha }}{2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} cos\,\dfrac{\alpha }{2} = 0\\ 1 - \sqrt 2 .\sin \frac{{3\alpha }}{2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha = \dfrac{\pi }{2}\\ \alpha = \dfrac{\pi }{6} \end{array} \right. \end{array}

Với x = \sin \alpha thì: x = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1 và x = \dfrac{1}{2}

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc  x = \dfrac{1}{2}

----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa Toán 10 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo. Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung: Lý thuyết Toán 10, Giải bài tập SGK Toán 10, Hỏi bài Toán 10

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 129
Tìm thêm: Toán 10
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần