Giaitoan.com Toán 10

Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi đại số Luyện tập Toán 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi đại số

Giải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi đại số

  • Biến đổi một phương trình thành tích hoặc thành phương trình đa thức sao cho có thể biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại

II. Bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi đại số

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 6{x^2}y + 9x{y^2} - 4{y^3} = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \sqrt {x - y} + \sqrt {x + y} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ : \left\{ \begin{array}{l} x \ge y\\ x \ge - y \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \left| y \right|

Biến đổi phương trình (1) ta được:

\begin{array}{l} {x^3} - 6{x^2}y + 9x{y^2} - 4{y^3} = 0\,\,\, \Leftrightarrow {x^3} - {x^2}y - 5{x^2}y + 5x{y^2} + 4x{y^2} - 4{y^3} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - y} \right) - 5xy{\left( {x - y} \right)^2} + 4{y^2}\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - 5xy + 4{y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x - 4y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x - 4y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x = 4y \end{array} \right. \end{array}

Với x = y thay vào phương trình (2) ta được:

\sqrt {2x} = 2 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2 = y

Với x = 4y thay vào phương trình (2) ta được:

\sqrt {3y} + \sqrt {5y} = 2 \Leftrightarrow y = 8 - 2\sqrt {15} \Rightarrow x = 32 - 8\sqrt {15}

Vậy phương trình có nghiệm (2; 2) và \left( {8 - 2\sqrt {15} ,32 - 8\sqrt {15} } \right)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \left\{ \begin{array}{l} {y^2} = \left( {5x + 4} \right)\left( {4 - x} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {y^2} - 5{x^2} - 4xy + 16x - 8y + 16 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy phương trình 2 là phương trình bậc hai với ẩn là y

Giải phương trình 2 ta được: {y^2} - 5{x^2} - 4xy + 16x - 8y + 16 = 0\, \Leftrightarrow {y^2} - 2\left( {2x + 4} \right)y - 5{x^2} + 16x + 16 = 0

Ta có:

{\Delta ^\prime } = {\left( {2x + 4} \right)^2} - \left( { - 5{x^2} + 16x + 16} \right) = 9{x^2} > 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm \left[ \begin{array}{l} {y_1} = 2x + 4 + \sqrt {9{x^2}} = 5x + 4\\ {y_1} = 2x + 4 - \sqrt {9{x^2}} = - x + 4 \end{array} \right.

Với y = 5x + 4. Thay vào phương trình (1) ta được:

{\left( {5x + 4} \right)^2} = \left( {5x + 4} \right)\left( {4 - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + 4 = 0\\5x + 4 = 4 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{4}{5}\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 4\end{array} \right.

Với y = - x + 4. Thay vào phương trình (1) ta được:

{\left( { - x + 4} \right)^2} = \left( {5x + 4} \right)\left( {4 - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4 - x = 0\\ 4 - x = 5x + 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 0\\ y = 4 \end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 4; 0) ; ( 0; 4) ;

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 1 + y\left( {y + x} \right) = 4y\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {y + x - 2} \right) = y\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình

Với y \ne 0 , chia cả hai vế của mỗi phương trình cho y ta được hệ phương trình tương đương \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2} + 1}}{y} + \left( {y + x} \right) = 4\,\,\,\,\\ \dfrac{{{x^2} + 1}}{y}.\left( {y + x - 2} \right) = 1\, \end{array} \right.

Đặt \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2} + 1}}{y} = a\,\,\,\,\\ y + x = b\, \end{array} \right. . Thay vào hệ phương trình ta được:

\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a + b = 4\\ a\left( {b - 2} \right) = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4 - b\\ \left( {4 - b} \right)\left( {b - 2} \right) = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4 - b\\ - {b^2} + 6b - 9 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4 - b\\ b = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 3 \end{array} \right. \end{array}

Với \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 3 \end{array} \right. thì: \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2} + 1}}{y} = 1\,\,\,\,\\ y + x = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 1 = y\\ x = 3 - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {3 - y} \right)^2} + 1 = y\\ x = 3 - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} y = 5\\ y = 2 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là : (-2;5) và (1;2)

-------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu giải hệ phương trình bằng phương pháp biến đổi đại số Toán 10 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Lý thuyết Toán 10
Giải bài tập SGK Toán 10
Hỏi đáp Toán 9

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 13
Tìm thêm: Toán 9 Chuyên đề Toán 9
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần