Giaitoan.com Toán 10

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ (tiếp theo) Luyện tập Toán 10

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi môn Toán lớp 10. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Phương pháp giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

+ Bước 1: Biến đổi, tìm cách làm ẩn phụ xuất hiện

+ Bước 2: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa

+ Bước 3: Lựa chọn ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ

+ Bước 4: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ, tìm mối liên hệ giữa ẩn phụ và ẩn của hệ phương trình

+ Bước 5: Dựa vào mối liên hệ ở bước 3 để tìm ra nghiệm của hệ phương trình

2. Bài tập giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 1 + {y^2} + xy = 4y\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ x + y - 2 = \dfrac{y}{{1 + {x^2}}}\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình. Khi đó ra chia cả hai vế của phương trình (1) cho y. Ta được:

\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2} + 1 + {y^2} + xy}}{y} = 4\,\\ x + y - 2 = \dfrac{y}{{1 + {x^2}}}\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2} + 1}}{y} + \dfrac{{y\left( {y + x} \right)}}{y} = 4\,\\ x + y - 2 = \dfrac{y}{{1 + {x^2}}}\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} + 1}}{y} + y + x = 4\,\\ x + y - \dfrac{y}{{1 + {x^2}}} = 2\, \end{array} \right.

Đặt \left\{ \begin{array}{l} x + y = a\\ \dfrac{y}{{1 + {x^2}}} = b \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = a\\ \dfrac{{1 + {x^2}}}{y} = \dfrac{1}{b} \end{array} \right. . Khi đó hệ phương trình trở thành:

\left\{ \begin{array}{l} a + \dfrac{1}{b} = 4\\ a - b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{b} + b = 2\\ a - b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 1\\ a = 3 \end{array} \right.

Với a = 3, b = 1 ta được:

\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3\\ \dfrac{y}{{1 + {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3\\ 1 + {x^2} = y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3\\ 1 + {x^2} = 3 - x \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3\\ 1 + {x^2} = 3 - x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 2 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} y = 2\\ y = 5 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y = 5 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là ( 1;2) và ( -2; 5)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 5\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {\left( {xy - 1} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: x \ne 0\,\,;y \ne 0

Biến đổi hệ phương trình ta được:

\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2\left( {x.\dfrac{1}{x}} \right) + {\left( {y - \frac{1}{y}} \right)^2} + 2\left( {y.\dfrac{1}{y}} \right) = 5\,\\ {x^2}{y^2} - 2xy + 1 = {x^2} + {y^2} + 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2\left( {x.\dfrac{1}{x}} \right) + {\left( {y - \frac{1}{y}} \right)^2} + 2\left( {y.\frac{1}{y}} \right) = 5\,\\ {x^2}{y^2} + {y^2} - {x^2} - 1 = 2xy \end{array} \right. \end{array}

\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2\left( {x.\dfrac{1}{x}} \right) + {\left( {y - \frac{1}{y}} \right)^2} + 2\left( {y.\dfrac{1}{y}} \right) = 5\,\\{x^2}{y^2} - 2xy + 1 = {x^2} + {y^2} + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2\left( {x.\dfrac{1}{x}} \right) + {\left( {y - \dfrac{1}{y}} \right)^2} + 2\left( {y.\dfrac{1}{y}} \right) = 5\,\\{x^2}{y^2} + {y^2} - {x^2} - 1 = 2xy\end{array} \right.\end{array}

Đặt \left\{ \begin{array}{l} \,\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = a\\ \left( {y - \dfrac{1}{y}} \right) = b \end{array} \right. . Khi đó hệ phương trình trở thành:

\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 5\,\\ ab = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 5\,\\ ab = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^2} = 9\,\\ ab = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a + b = 3\\ ab = 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = - 3\\ ab = 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = - 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = - 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}

Ta có : x + \dfrac{1}{x} = a \Rightarrow \left| a \right| \ge 2 . Vậy chỉ có trường hợp \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = - 1 \end{array} \right. \end{array} \right. thỏa mãn

Với \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right. ta có: \left\{ \begin{array}{l} \,x + \dfrac{1}{x} = 2\\ y - \dfrac{1}{y} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \,{x^2} + 1 - 2x = 0\\ {y^2} - y - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \,x = 1\\ y = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.

Với \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = - 1 \end{array} \right. ta có: \left\{ \begin{array}{l} \,x + \dfrac{1}{x} = - 2\\ y - \dfrac{1}{y} = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \,{x^2} + 1 + 2x = 0\\ {y^2} + y - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \,x = - 1\\ y = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} 6{x^4} - \left( {{x^3} - x} \right){y^2} - \left( {y + 12} \right){x^2} = - 6\\ 5{x^4} - {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}{y^2} - 11{x^2} = - 5 \end{array} \right.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình

Chia cả hai vế của hệ phương trình cho . Khi đó hệ phương trình trở thành

\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{6{x^4} - \left( {{x^3} - x} \right){y^2} - \left( {y + 12} \right){x^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{ - 6}}{{{x^2}}}\\ \dfrac{{5{x^4} - {{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}{y^2} - 11{x^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{ - 5}}{{{x^2}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6{x^2} - \left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){y^2} - \left( {y + 12} \right) = \dfrac{{ - 6}}{{{x^2}}}\\ 5{x^2} - {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^2}{y^2} - 11 = \dfrac{{ - 5}}{{{x^2}}} \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6{x^2} + \dfrac{6}{{{x^2}}} - \left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){y^2} - \left( {y + 12} \right) = 0\\ 5{x^2} + \dfrac{5}{{{x^2}}} - {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^2}{y^2} - 11 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - \left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){y^2} - \left( {y + 12} \right) = 0\\ 5\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^2}{y^2} - 11 = 0 \end{array} \right.

Đặt x - \dfrac{1}{x} = t \Rightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {t^2} \Rightarrow {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2} + 2 . Thay vào hệ phương trình ta được:

\left\{ \begin{array}{l} 6\left( {{t^2} + 2} \right) - t{y^2} - \left( {y + 12} \right) = 0\\ 5\left( {{t^2} + 2} \right) - {t^2}{y^2} - 11 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6{t^2} - t{y^2} - y = 0\\ 5{t^2} - {t^2}{y^2} - 1 = 0 \end{array} \right.

Nhận thấy t = 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình

Chia cả 2 vế của hệ phương trình cho . Ta được:

\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{y^2}}}{t} + \dfrac{y}{{{t^2}}} = 6\\ {y^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}} = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{y}{t}\left( {y + \dfrac{1}{t}} \right) = 6\\ {\left( {y + \dfrac{1}{t}} \right)^2} - 2\dfrac{y}{t} = 5 \end{array} \right.\left( * \right)

Đặt \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{y}{t} = c\\ y + \dfrac{1}{t} = d \end{array} \right. . Thay vào (*) ta được:

\left\{ \begin{array}{l} cd = 6\\ {d^2} - 2c = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = \dfrac{6}{d}\\ {d^2} - 2\dfrac{6}{d} = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = \frac{6}{d}\\ {d^3} - 12 = 5d \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = \dfrac{6}{d}\\ d = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = 2\\ d = 3 \end{array} \right.

Thay c = 2 và d = 3 ta có: \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{y}{t} = 2\\ y + \dfrac{1}{t} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2t\\ 2t + \dfrac{1}{t} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2t\\ \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} t = 1\\ y = 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} t = \dfrac{1}{2}\\ y = 1 \end{array} \right. \end{array} \right.

Với \left\{ \begin{array}{l} t = 1\\ y = 2 \end{array} \right. thì: x - \dfrac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}

Với \left\{ \begin{array}{l} t = \dfrac{1}{2}\\ y = 1 \end{array} \right. thì:  x - \dfrac{1}{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {17} }}{4}

Vậy hệ phương trình có nghiệm \left( {\dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2};2} \right) ; \left( {\dfrac{{1 \pm \sqrt {17} }}{4};\dfrac{1}{2}} \right)

--------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

Lý thuyết Toán 10
Giải bài tập SGK Toán 10
Hỏi đáp môn Toán 10

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 13
Tìm thêm: Toán 10 Chuyên đề Toán 10
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần