Giaitoan.com Toán 12

Đạo hàm logarit Công thức Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Công thức đạo hàm logarit

Tài liệu Hàm số Logarit đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi công thức Logarit Toán THPT. Tài liệu đã phân chia công thức logarit theo từng dạng, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề hàm số logarit Toán 12. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. Hàm số logarit

Cho số thực: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {a \ne 1} \end{array}} \right.. Hàm số y = {\log _a}x được gọi là hàm số logarit cơ số a.

a) Tập xác định của hàm logarit

- Hàm số y = {\log _a}x,\left( {0 < a \ne 1} \right) có tập xác định là D = \left( {0; + \infty } \right)

=> {\log _a}x \in \mathbb{R}

b) Tập giá trị của hàm logarit

=> Hàm số y = {\log _a}x,\left( {0 < a \ne 1} \right) có tập giá trị là T = \mathbb{R}

B. Công thức tính đạo hàm logarit

Đạo hàm \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}

\Rightarrow \left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x.\ln a}}

\left( {{{\log }_a}\left| u \right|} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}

C. Tính đạo hàm logarit

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = {\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)

A. y' = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}

B. y' = \frac{{2x + 1}}{{{{\log }_2}\left( {{x^2} + x + 1} \right).\ln 2}}

C. y = \frac{{\left( {2x + 1} \right).\ln 2}}{{{x^2} + x + 1}}

D. y' = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right).\ln 2}}

Hướng dẫn giải

Thực hiện tính đạo hàm của hàm số như sau:

y = {\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)

\Rightarrow y' = \left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \right]'

\Rightarrow y' = \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)'}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right).\ln 2}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right).\ln 2}}

=> Chọn đáp án D

Ví dụ 2: Cho hàm số y = {\log _2}\left( {{x^2} - x} \right). Tính f’(2).

A. f'\left( x \right) = \frac{3}{2}

B. f'\left( x \right) = \frac{3}{2}.{\log _2}e

C. f'\left( x \right) = \frac{{3.\ln 2}}{2}

D. f'\left( x \right) = \frac{2}{{3.\ln 2}}

Hướng dẫn giải

Thực hiện tính đạo hàm của hàm số như sau:

y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - x} \right)

\Rightarrow f'\left( x \right) = \left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} - x} \right)} \right]'

\Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{\left( {{x^2} - x} \right).\ln 2}}

\Rightarrow f'\left( 2 \right) = \frac{{2.2 - 1}}{{\left( {{2^2} - 2} \right).\ln 2}} = \frac{3}{2}.{\log _2}e

=> Chọn đáp án B

Ví dụ 3: Cho hàm số y = {\log _3}\left( {{3^x} + x} \right). Biết y'\left( 1 \right) = \frac{a}{4} + \frac{1}{{b\ln 3}};\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right). Giá trị a + b là:

A. a + b = 2

B. a + b = 7

C. a + b = -4

D. a + b = 5

Hướng dẫn giải

Ta có: y = {\log _3}\left( {{3^x} + x} \right)

\Rightarrow y' = \frac{{\left( {{3^x} + x} \right)'}}{{\left( {{3^x} + x} \right).\ln 3}} = \frac{{{3^x}.\ln 3 + 1}}{{\left( {{3^x} + x} \right).\ln 3}}

=> a = 3; b = 4

=> a + b = 3 + 4 = 7

=> Chọn đáp án B

Ví dụ 4: Cho hàm số y = \frac{{\ln x}}{x}, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2y' + xy'' = - \frac{1}{{{x^2}}}

B. y' + xy'' = \frac{1}{{{x^2}}}

C. y' + xy'' = - \frac{1}{{{x^2}}}

D. 2y' + xy'' = \frac{1}{{{x^2}}}

Hướng dẫn giải

Ta có:

y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow xy = \ln x \Rightarrow \left( {xy} \right)' = \left( {\ln x} \right)'

\Rightarrow x'y + y'x = \frac{1}{x}

\Rightarrow y + xy' = \frac{1}{x}

Tiếp tục đạo hàm hai vế ta có:

y' + y' + xy'' = - \frac{1}{{{x^2}}}

\Rightarrow 2y' + xy'' = - \frac{1}{{{x^2}}}

=> Chọn đáp án A

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y = {\log _2}\left( {\sqrt[3]{{3x + 1}}} \right) trên tập xác định của nó:

A. \frac{1}{{\left( {3x + 1} \right)\ln 2}}

B. \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x + 1}}.\ln 2}}

C. \frac{{\ln 2}}{{3x + 1}}

D. \frac{1}{{3\left( {3x + 1} \right).\ln 2}}

Hướng dẫn giải

Ta có:

y = {\log _2}\left( {\sqrt[3]{{3x + 1}}} \right) = \frac{1}{3}{\log _2}\left( {3x + 1} \right)

y' = \frac{1}{3}.\frac{3}{{\left( {3x + 1} \right)\ln 2}} = \frac{1}{{\left( {3x + 1} \right).\ln 2}}

=> Chọn đáp án A

----------------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Toán 12: Hàm số logarit là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Bờm
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 56
Tìm thêm: Toán 12 Bài tập Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần