Giaitoan.com Toán 12

Biểu diễn hình học của số phức Lý thuyết Toán 12

Nội dung
  • 1 Đánh giá

Biểu diễn hình học của số phức

Biểu diễn hình học của số phức đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi số phức lớp 12. Tài liệu bao gồm định nghĩa, công thức, cách biểu diễn và tính chất của số phức cùng với đó là các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Số phức. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Biểu diễn hình học của số phức

- Mỗi số phức z = x+yi được biểu diển một điểm M ( x;y) khi đó \overrightarrow {OM} = \left( {x;y} \right) trên mặt phẳng phức.

- Khi đó \left| z \right| = \overrightarrow {OM} = \sqrt {{x^2} + {y^2}}

- Nếu điểm M\left( {{z_1}} \right) là điểm biểu diễn số phức {z_1} và điểm N\left( {{z_2}} \right) là điểm biểu diễn số phức {z_2} thì \left\{ \begin{array}{l} {z_1} - {z_2} = \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {NM} \\ {z_1} + {z_2} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} \end{array} \right.

2. Cách biểu diễn hình học của số phức

a) Bài toán

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn f\left( {z;\overline z } \right) = g\left( {z;\overline z } \right) hoặc f\left( {z;\overline z } \right) là số thực hoặc f\left( {z;\overline z } \right)  là số ảo

b) Phương pháp giải

- Đặt z{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R} } \right) \Rightarrow \overrightarrow z {\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ - }}yi\,\,  thế vào biểu thức ban đầu, biến đổi và kết luận

Mối liên hệ giữa x và yKết luận tập hợp điểm M (x;y)
Ax + By + C = 0- Là đường thẳng Ax + By + C = 0
\left[ \begin{array}{l} {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\\ {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0 \end{array} \right.- Là đường tròn (C ) có tâm I (a;b) và có bán kính R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}
\left[ \begin{array}{l} {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} \le {R^2}\\ {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c \le 0 \end{array} \right.- Là đường tròn (C ) có tâm I (a;b) và có bán kính R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  ( bao gồm đường tròn và các điểm bên trong)
R_1^2 \le {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} \le R_2^2- Là những điểm thuộc miền và có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm I (a; b) và bán kính lần lượt là {R_1}và  {R_2}
R_1^2 \le {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} \le R_2^2- Là một parabol ( P) có đỉnh I = \left( { - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)
\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1với  \left\{ \begin{array}{l} M{F_1} + M{F_2} = 2a\\ {F_1}{F_2} = 2c < 2a \end{array} \right.- Là một elip có trục lớn 2a, trục bé 2b và tiêu cự là  {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {a > b > 0} \right)

3. Bài tập biểu diễn hình học số phức

Ví dụ 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 3\left| {z + i} \right| = \left| {2\overline z - z + 3i} \right|

Hướng dẫn giải

Gọi  z = x + yi\left( {x;y \in\mathbb{R} } \right). Khi đó ta có:

\begin{array}{l} 3\left| {a + bi + i} \right| = \left| {2\left( {a - bi} \right) - \left( {a + bi} \right) + 3i} \right|\\ \Leftrightarrow 3\left| {a + \left( {b + 1} \right)i} \right| = \left| {a - \left( {3b - 3} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} } \right) = \left( {\sqrt {{a^2} + {{\left( {3b - 3} \right)}^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow 9{a^2} + 9{\left( {b + 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {3b - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 8{a^2} + 9\left( {{b^2} + 2b + 1} \right) - \left( {9{b^2} - 18b + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8{a^2} + 9\left( {{b^2} + 2b + 1} \right) - \left( {9{b^2} - 18b + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8{a^2} + 9{b^2} + 18b + 2 - 9{b^2} + 18b - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 8{a^2} + 18b = 0\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{4}{9}{a^2} \end{array}

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là 1 parabol

Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho \left( {\overline z + 1} \right)\left( {z - 1} \right) là một số thực

Hướng dẫn giải

Gọi số phức z = x + yi

Khi đó ta có:

\begin{array}{l} \left( {\overline z + 1} \right)\left( {z - 1} \right) = \left( {a - bi + 1} \right)\left( {a + bi - 1} \right) = \left( {a + 1 - bi} \right)\left( {a - 1 + bi} \right)\\ = \left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) + {b^2} + \left[ {\left( {a + 1} \right)b + \left( {a - 1} \right)( - b)} \right]i \end{array}

Vì số phức z là một số thực nên

\left[ {\left( {a + 1} \right)b + \left( {a - 1} \right)( - b)} \right] = ab + b - ab + b = 0 \Leftrightarrow 2b = 0 \Leftrightarrow b = 0

Vậy điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = 0

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho 2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|

Hướng dẫn giải

Gọi số phức  z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi

Khi đó ta có:

\begin{array}{l} 2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right| \Leftrightarrow 2\left| {a + bi - i} \right| = \left| {a + bi - \left( {a - bi)} \right) + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow 2\left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {2b + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {2b + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{\left( {b - 1} \right)^2} - 4{\left( {b + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 16b = 0\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{{4{a^2}}}{{16}} \Leftrightarrow b = \dfrac{{{a^2}}}{4} \end{array}

Vậy điểm biểu diễn số phức z là một parabol

------------------------------------------------------------

Hi vọng Chuyên đề Số phức là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Chia sẻ bởi: Lê Thị Thùy
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 112
Tìm thêm: Toán 12 Bài tập Toán 12
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần