Đề thi học kì 1 Toán 9 năm học 2022 – 2023 - Đề số 6 Đề thi cuối kì 1 lớp 9

1 Đánh giá

Đề thi học kì 1 Toán 9 - Đề số 6

A. Đề thi Toán kì 1 lớp 9
B. Đáp án Đề thi Toán kì 1 lớp 9

Đề thi học kì 1 Toán 9 năm học 2022 – 2023 - Đề số 6 được giaitoan.com biên soạn bao gồm các dạng bài tập và đáp án chi tiết được xây dựng theo trọng tâm chương trình học môn Toán lớp 9 giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức, giúp định vị khả năng tư duy logic, khả năng nhận biết. Đề thi giúp các em tiếp xúc với các dạng bài cơ bản đến nâng cao thường xuất hiện trong ma trận đề thi HK1 lớp 9, hỗ trợ việc ôn lại nội dung và kiểm soát tốt thời gian làm bài thi. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.

A. Đề thi Toán kì 1 lớp 9

Câu 1

1. Thực hiện phép tính

a) $\dfrac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} - \dfrac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }} + 5\sqrt {1\dfrac{1}{3}}$

b) $\dfrac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} + \dfrac{4}{{\sqrt 6 - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 6 - 3}} - \sqrt 6$

2. Giải phương trình sau: $\sqrt {x - 3} - 2\sqrt {{x^2} - 9} = 0$

Câu 2

Cho biểu thức $A = \dfrac{7}{{\sqrt x + 8}}$ và $B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}}$ ( với $x \ge 0;\,\,x \ne 9$ )

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25

b) Chứng minh $B = \dfrac{{\sqrt x + 8}}{{\,\sqrt x + 3}}$

c) Tìm x để biểu thức P = A. B có giá trị là số nguyên

Câu 3

Cho hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ : y = 2x + 3m và $\left( {{d_2}} \right)$ : y = (2m+1)x + 2m – 3. Tìm điều kiện của m để:

a) Hai đường thẳng song song với nhau

b) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = - 3

Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của (O) tại A, lấy điểm M. Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại C.

a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao và $M{A^2} = MB.MC$

b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại I, đường thẳng này cắt đường trong (O) tại D. Chứng minh 4 điểm M, C, I, A cùng thuộc một đường tròn

c) Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O) và $\widehat {MCD} = \widehat {MDB}$

Câu 5: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

$P = \sqrt {ab + c} + \sqrt {bc + a} + \sqrt {ac + b}$

B. Đáp án Đề thi Toán kì 1 lớp 9

Câu 1

1. Thực hiện phép tính

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} - \dfrac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }} + 5\sqrt {1\dfrac{1}{3}} \\ = \dfrac{1}{2}.4\sqrt 3 - 2.5\sqrt 3 - \sqrt {\dfrac{{33}}{{11}}} + 5\sqrt {\frac{4}{3}} \\ = 2\sqrt 3 - 10\sqrt 3 - \sqrt 3 + 5.\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\ = - 9\sqrt 3 + 5.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\\ = \dfrac{{ - 27\sqrt 3 + 10\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{ - 17\sqrt 3 }}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l}\dfrac{{15}}{{\sqrt 6 + 1}} + \dfrac{4}{{\sqrt 6 - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 6 - 3}} - \sqrt 6 \\ = \dfrac{{15\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 6 + 1} \right)\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}} + \dfrac{{4\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 6 - 2} \right)\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}} + \dfrac{{12\left( {\sqrt 6 + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 6 + 3} \right)\left( {\sqrt 6 - 3} \right)}} - \sqrt 6 \\ = \dfrac{{15\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}}{5} + \dfrac{{4\left( {\sqrt 6 + 2} \right)}}{4} + \dfrac{{12\left( {\sqrt 6 + 3} \right)}}{3} - \sqrt 6 \\ = 3\left( {\sqrt 6 - 1} \right) + \sqrt 6 + 2 + 4\left( {\sqrt 6 + 3} \right) - \sqrt 6 \\ = 3\sqrt 6 - 3 + \sqrt 6 + 2 + 4\sqrt 6 + 12 - \sqrt 6 \\ = 7\sqrt 6 + 11\end{array}$

$\begin{array}{l}\sqrt {x - 3} - 2\sqrt {{x^2} - 9} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ĐK:\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le - 3\end{array} \right.} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} - 2\sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} \left( {1 - 2\sqrt {x + 3} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 3} = 0\\1 - 2\sqrt {x + 3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\2\sqrt {x + 3} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\\sqrt {x + 3} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x + 3 = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - \dfrac{{11}}{4}\left( l \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3

Câu 2

Khi x = 25 thay vào biểu thức A ta được:

$A = \dfrac{7}{{\sqrt x + 8}} = \dfrac{7}{{\sqrt {25} + 8}} = \dfrac{7}{{5 + 8}} = \dfrac{7}{{13}}$

$\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}}\\B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\B = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \dfrac{{2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\B = \dfrac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\B = \dfrac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\end{array}$

$\begin{array}{l} B = \dfrac{{x + 8\sqrt x - 3\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ B = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 8} \right) - 3\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ B = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ B = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \end{array}$

Ta có

$P = A.B = \dfrac{7}{{\sqrt x + 8}}.\dfrac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \dfrac{7}{{\sqrt x + 3}}$

Để biểu thức P có giá trị là số nguyên thì $\sqrt x + 3 \in Ư\left( 7 \right) = \left\{ { \pm 1;\, \pm 7} \right\}$

Với $\sqrt x + 3 = 1 \Rightarrow \sqrt x = - 2\,\,\left( l \right)$

Với $\sqrt x + 3 = - 1 \Rightarrow \sqrt x = - 4\,\,\left( l \right)$

Với $\sqrt x + 3 = 7 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16$

Với $\sqrt x + 3 = - 7 \Rightarrow \sqrt x = - 10\left( l \right)$

Vậy để P nguyên thì x = 16

Câu 3

Để $\left( {{d_1}} \right)$ // $\left( {{d_2}} \right)$ thì

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2m + 1 \ne 0\\ a = {a^\prime } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - \dfrac{1}{2}\\ 2m + 1 = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - \dfrac{1}{2}\\ 2m = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - \dfrac{1}{2}\\ m = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {t/m} \right) \end{array} \right. \end{array}$

Vậy để $\left( {{d_1}} \right)$ // $\left( {{d_2}} \right)$ thì $m = \dfrac{1}{2}$

Để cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = - 3 thì:

0 = (2m + 1). ( - 3) + 2m – 3 - 4m – 6 = 0

Vậy cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = - 3 thì $m = - \dfrac{3}{2}$

Câu 4

Xét tam giác ABC có

OA = OB = OC = R

Mà OA = OB ( O là trung điểm của AB)

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại C ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Ta có: $\widehat {ACB} + \widehat {ACM} = {180^ \circ }$

Mà $\widehat {ACB} = {90^ \circ }$

$\begin{array}{l} \widehat {ACB} + \widehat {ACM} = {180^ \circ }\\ \Rightarrow {90^ \circ } + \widehat {ACM} = {180^ \circ }\\ \Rightarrow \widehat {ACM} = {90^ \circ } \end{array}$

$\Rightarrow \Delta ACM$ vuông

Lấy K là trung điểm của AM

$\Rightarrow AK = KM = \dfrac{1}{2}MA$ (1)

Xét tam giác AMI vuông tại I có:

$IK = \dfrac{1}{2}AM$ (2) ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Từ (1) và (2) ta được: AK = KM = IK (*)

Xét tam giác AMC vuông tại C có:

$CK = \dfrac{1}{2}AM$ (3) ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Từ (1) và (3) ta được: CK = KM = IK (**)

Từ (*) và (**) AK = CK = KM = IK A, C, I, M cùng thuộc 1 đường tròn

Xét tam giác AOD có:

OA = OD = R $\Rightarrow \Delta AOD$ cân

Mà

$OI \bot AD \Rightarrow \widehat {AOI} = \widehat {DOI}$ ( đường cao đồng thời là đường phân giác)

Xét $\Delta MAO$ và $\Delta MDO$ có:

OA = OD = R

OM cạnh chung

$\widehat {AOI} = \widehat {DOI}$

$\Rightarrow \Delta MAO = \Delta MDO \Rightarrow \widehat {MAO} = \widehat {MDO}$

Mà

$\widehat {MAO} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {MDO} = {90^ \circ }$

$\Rightarrow MD \bot OD \Rightarrow$ MD là tiếp tuyến của (O)

Xét tam giác AMB vuông tại A có:

$M{A^2} = MC.MB$

Mà: MA = MD

Nên

$M{D^2} = MC.MB \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MD}} = \frac{{MD}}{{MB}}$

Xét $\Delta MCD$ và $\Delta MDB$ có:

$\dfrac{{MC}}{{MD}} = \frac{{MD}}{{MB}}$

$\widehat {CMD}$ góc chung

$\Delta MCD$ đồng dạng $\Delta MDB$

$\Rightarrow \widehat {MCD} = \widehat {MDB}$

Câu 5

Ta có:

$P = \sqrt {ab + c} + \sqrt {bc + a} + \sqrt {ac + b} \ge \sqrt c + \sqrt a + \sqrt b$

Với a, b, c không âm và a + b + c = 1 nên $0 \le a,\,b,\,c \le 1$

Với $0 \le x \le 1$ thì:

$\sqrt x \ge x \Rightarrow P \ge \sqrt c + \sqrt a + \sqrt b \ge a + b + c = 1$

Vậy ${P_{\min }} = 1$

Dấu “ =” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} ab = bc = ac = 0\\ a + b + c = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {a,b,c} \right) = \left( {0,0,1} \right)$ (a, b, c có thể hoán vị cho nhau)

Ta có:

$\begin{array}{l} P = \sqrt {ab + c} + \sqrt {bc + a} + \sqrt {ac + b} \\ \le \dfrac{3}{4}\left( {ab + c + \dfrac{4}{9} + bc + a + \dfrac{4}{9} + ac + b + \dfrac{4}{9}} \right)\\ = \dfrac{3}{4}\left( {ab + \dfrac{7}{3} + bc + ac} \right)\\ = \dfrac{3}{4}\left( {ab + bc + ac} \right) + \frac{7}{4} \le \dfrac{3}{4}\dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} + \dfrac{7}{4} = 2 \end{array}$