Các trường hợp đồng dạng của tam giác Toán 8

Bài tập Toán 8

5 Đánh giá

Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác

A. Kiến thức cần nhớ của Tam giác đồng dạng
B. Bài tập rèn luyện về Tam giác đồng dạng

Các trường hợp đồng dạng của tam giác bao gồm các bài tập phân loại từ cơ bản đến nâng cao. Với bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác này sẽ giúp các em học sinh ôn tập các kiến thức về định lý Ta - lét, các trường hợp đồng dạng của tam giác như cạnh - góc - cạnh, cạnh - cạnh - cạnh, góc - góc, ... để củng cố kiến thức trọng tâm môn Toán 8. Chúc các bạn học tập tốt!

Tam giác đồng dạng Toán 8

A. Kiến thức cần nhớ của Tam giác đồng dạng

1. Định lý Ta – lét trong tam giác

- Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

2. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta – let

a) Định lý Ta – lét đảo.

- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

b) Hệ quả của định lý Ta – let.

- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

3. Tính chất đường phân giác trong tam giác

- Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của đoạn ấy.

4. Tam giác đồng dạng

- Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

+ Các góc: $\widehat{A}=\widehat{A'};\widehat{B}=\widehat{B'};\widehat{C}=\widehat{C'}$

+ Tỉ lệ các cạnh: $\frac{AB}{A'B'}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$

– Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

5. Ba trường hợp đồng dạng của tam giác

a) Trường hợp thứ nhất cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

- Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

b) Trường hợp thứ hai cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

- Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng với nhau.

c) Trường hợp thứ ba góc – góc - góc (g.g.g)

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

- Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.

+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

+ Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

B. Bài tập rèn luyện về Tam giác đồng dạng

Bài tập 1: Cho tam giác vuông ABC (Â = ${{90}^{0}}$ ) có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD và DE.

b) Tính diện tích các tam giác ABD và ACD.

Hướng dẫn giải bài tập

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

a. Ta có tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có:

$\begin{align} & A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow B{{C}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}=225 \\ & \Rightarrow BC=15cm \\ \end{align}$

Ta lại có AD là phân giác góc $\widehat{A}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DAE}=\frac{{{90}^{0}}}{2}={{45}^{0}}$

Mặt khác tam giác ADE vuông tại E suy ra tam giác ADE vuông cân tại E

$\Rightarrow EA=ED$

Xét tam giác ABC và tam giác DEC có:

$\widehat{A}=\widehat{E}={{90}^{0}}$

$\widehat{C}$ chung

$\begin{align} & \Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta EDC \\ & \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{EC}{AC} \\ & \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{AC-AE}{AC} \\ \end{align}$

$\begin{align} & \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{AC-DE}{AC}\text{ }\left( ED=EA \right) \\ & \Rightarrow \frac{DE}{9}=\frac{12-DE}{12} \\ & \Rightarrow 12DE=9\left( 12-DE \right) \\ & \Rightarrow 12DE=108-9DE \\ & \Rightarrow 21DE=108\Rightarrow DE=AE=\frac{36}{7}cm \\ \end{align}$

$\begin{align} & \Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta EDC \\ & \Rightarrow \frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}\Rightarrow \frac{\frac{36}{7}}{9}=\frac{DC}{15}\Rightarrow DC=\frac{36}{7}.15:9=\frac{60}{7}cm \\ & \Rightarrow BD=BC-DC=15-\frac{60}{7}=\frac{45}{7}cm \\ \end{align}$

b. Diện tích tam giác ADC là: ${{S}_{ADC}}=\frac{1}{2}.DE.AC=\frac{1}{2}.\frac{36}{7}.12=\frac{216}{7}c{{m}^{2}}$

Diện tích tam giác ABC là: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.9.12=54c{{m}^{2}}$

Vậy diện tích tam giác BAD là: ${{S}_{ABD}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{ADC}}=54-\frac{216}{7}=\frac{162}{7}c{{m}^{2}}$

Bài tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; và góc $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}$ .

a) Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.

b) Tính độ dài các cạnh BC và CD.

Hướng dẫn giải bài tập

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

Gọi E là giao điểm của AD và CB

Ta có $\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{B}_{1}}}\Rightarrow \Delta ABE$ cân tại E $\Rightarrow EA=BE$ (1)

Ta coa AB // BC (do ABCD là hình thang) $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{D}_{1}}} \\ \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}} \\ \end{matrix} \right.$ (vị trí so le trong) $\Rightarrow \Delta ECD$ cân tại E $\Rightarrow EC=ED$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow EA+ED=BE+EC\Rightarrow AD=BC$

Suy ra hình thang ABCD là hình thang cân $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{A}=\widehat{B} \\ \widehat{D}=\widehat{C} \\ \end{matrix} \right.$

Xét tam giác ABC và tam giác ABD

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =15cm; AC = 20cm. Kẻ đường cao AH

a/ Chứng minh: ΔABC đồng dạng ΔHBA từ đó suy ra: $A{{B}^{2}}=BC.BH$

b/ Tính BH và CH.

Hướng dẫn giải bài tập

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

Theo định lí Pitago ta có: $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{{{15}^{2}}+{{20}^{2}}}=25cm$

Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\widehat{ABH}$ chung

Suy ra tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA

$\begin{align} & \Rightarrow \frac{AB}{CB}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.CB \\ & \Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{CB}=\frac{{{15}^{2}}}{25}=9\left( cm \right) \\ & \Rightarrow CH=BC-BH=25-9=16\left( cm \right) \\ \end{align}$

Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH, biết AB = 15 cm, AH = 12cm

a/ CM: ΔAHB đồng dạng ΔCHA

b/ Tính các đoạn BH, CH, AC

Bài tập 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm; AC = 4cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

a. Tính độ dài BC.

b. Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC.

c. Kẻ đường phân giác AD (D ∈ BC). Tính các độ dài DB và DC?

Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm, BC =10cm. Đường cao AH (H ∈ BC);

a) Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng.

b) Cho AD là đường phân giác của tam giác ABC (D ∈ BC). Tính độ dài DB và DC;

c) Chứng minh rằng $A{{B}^{2}}=BH.HC$

d) Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường phân giác AD tại E. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác ECD.

Bài tập 7: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh rằng

a) ΔABE đồng dạng ΔACF

b) AE . CB = AB . EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Bài tập 8: Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ, MN < PQ), NP = 15 cm, đường cao NI = 12 cm, QI = 16 cm.

a) Tính độ dài IP, MN

b) Chứng minh rằng: QN ⊥ NP

c) Tính diện tích hình thang MNPQ

d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh rằng: KN 2 = KP. KQ

Bài tập 9: Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh:

d) ΔCBN và ΔCDM cân.

e) ΔCBN đồng dạng ΔMDC

f) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Bài tập 10: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) CMR: AE . AC = AF . AB

b) CMR: ΔAFE đồng dạng ΔACB

c) CMR: ΔFHE đồng dạng ΔBHC

d) CMR: BF . BA + CE . CA = $B{{C}^{2}}$

Bài tập 11: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) CMR: AE . AC = AF . AB

b) CMR AFE ACB

c) CMR: FHE BHC

d) CMR: BF . BA + CE . CA = BC2

Bài tập 12: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B.

a) Chứng minh BDM đồng dạng với CME.

b) Chứng minh BD . CE không đổi.

c) Chứng minh DM là phân giác của góc BDE.

Bài tập 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

c) Vẽ phân giác AD của góc A (D ∈ BC). Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và D.

Bài tập 14: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh

a) ΔABE đồng dạng ΔACF

b) AE . CB = AB . EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Bài tập 15: Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh:

a) ΔCBN và ΔCDM cân.

b) ΔCBN đồng dạng ΔMDC

c) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.