Đạo hàm ln Đạo hàm hàm số mũ

9 Đánh giá

Đạo hàm lnx

A. Công thức đạo hàm lnx
B. Đạo hàm hàm hợp
C. Đạo hàm cấp cao
D. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
E. Bài tập tính đạo hàm ln

Cách tính đạo hàm lnx đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán tính đạo hàm hàm số mũ Toán 11. Tài liệu bao gồm công thức đạo hàm đầy đủ, dễ nhớ, dễ hiểu giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Đạo hàm lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

A. Công thức đạo hàm lnx

$\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}$

B. Đạo hàm hàm hợp

$\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}$

C. Đạo hàm cấp cao

${\left( {\ln x} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}.\left( {n - 1} \right)!.{x^{ - n}}$

D. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1: Tính $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$

Bước 2: Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

E. Bài tập tính đạo hàm ln

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số: $y = \ln \left( {{x^2} - 3x - 1} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y' = \frac{{\left( {{x^2} - 3x - 1} \right)'}}{{{x^2} - 3x - 1}} = \frac{{2x - 3}}{{{x^2} - 3x - 1}}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = ln²(lnx) tại điểm x = e

A. y’(e) = e	B. y’(e) = 1
C. B. y’(e) = 2/ e	D. y’(e) = 0

Hướng dẫn giải

Nhận thấy ${u^n} \to \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$ với u = ln(lnx)

Áp dụng công thức ta được $y' = 2\ln \left( {\ln x} \right)\left[ {\ln \left( {\ln x} \right)} \right]'\left( * \right)$

Thực hiện tính $\left[ {\ln \left( {\ln x} \right)} \right]'$ . Nhận thấy biểu thức có dạng $\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}$ với u = lnx

Áp dụng công thức ta được

$\left[ {\ln \left( {\ln x} \right)} \right]' = \dfrac{{\left( {\ln x} \right)'}}{{\ln x}} = \dfrac{{\dfrac{1}{x}}}{{\ln x}} = \dfrac{1}{{x\ln x}}\left( {**} \right)$

Từ (*) và (**) ta có:

$y' = \frac{{2\ln \left( {\ln x} \right)}}{{x\ln x}} \to y'\left( e \right) = \frac{{2\ln \left( {\ln e} \right)}}{{e\ln e}} = \frac{{2.\ln 1}}{{e\ln e}} = 0$

Vậy đáp án đúng là D

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số: $y = \ln \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: $\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}$

Ta có:

$y' = \ln \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)' = \frac{{\left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)'}}{{1 + \sqrt {x + 1} }}$

Mà $\left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}$

Suy ra $y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$

Ví dụ: Cho hàm số $f\left( x \right)= - 4\ln \left( {\sqrt {x - 4} + \sqrt x } \right) + \sqrt {{x^2} - 4x}$ với x ≥ 4. Tính giá trị của biểu thức $A = f\left( 4 \right) - {\left[ {f'\left( 8 \right)} \right]^2}.\ln 2$

A. A = 2ln2	B. A = 4ln2
C. A = 6ln2	D. A = 8ln2

Hướng dẫn giải

Ta có:

$f'\left( x \right) = 4\frac{{\left( {\sqrt {x - 4} + \sqrt x } \right)'}}{{\sqrt {x - 4} + \sqrt x }} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }}$

Khi đó $f'\left( 8 \right) = \sqrt 2$ và f(4) = 4ln2

Vậy $A = f\left( 4 \right) - {\left[ {f'\left( 8 \right)} \right]^2}.\ln 2 = 4\ln 2 - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.\ln 2 = 2\ln 2$

=> A = 2ln2

Vậy đáp án đúng là A

--------------------------------------------

Hi vọng Đạo hàm hàm ln là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Một số tài liệu liên quan: