Giaitoan.com Toán 6

Tính nhanh lớp 6 Bài tập Toán lớp 6

Nội dung
  • 17 Đánh giá

Tính nhanh

Tính nhanh Toán lớp 6 được biên soạn và đăng tải bao gồm các dạng bài tập và đáp án chi tiết được xây dựng theo trọng tâm chương trình học THCS Toán lớp 6 giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức, giúp định vị khả năng tư duy logic, khả năng nhận biết. Chúc các em học sinh ôn tập thật tốt!

A. Công thức tính tổng dãy số

Dạng 1: Tổng các số cách đều S = a1 + a2 + a3 + … + an (1)

Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = …. = a­n – a­n-1 = m (Các số hạng cách đều nhau)

=> Số các số hạng trong tổng là a = \left( {{a_n} - {a_1}} \right):d + 1

Trong đó a1 là số hạng thứ nhất., an là số hạng thứ n

=> Tổng S = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}

Dạng 2: Tổng các số có dạng S = 1 + a2 + a3 + a4 + … + an (2)

Bước 1: Nhân cả hai vế của đẳng thức với số a ta được:

a.S = a2 + a3 + a4 + … + an + an + 1 (3)

Bước 2: Lấy biểu thức (3) – biểu thức (2) ta được:

aS – S = an+1 – 1

=> S = \frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}}

Dạng 3: Tổng các số có dạng S = 1 + a2 + a4 + a6 + … + a2n (4)

Bước 1: Nhân cả hai vế của đẳng thức với số a2 ta được:

a2.S = a2 + a4 + a6 + … + a2n + a2n + 1 (5)

Bước 2: Lấy biểu thức (5) – biểu thức (4) ta được:

a2.S – S = a2n+2 – 1

=> S = \frac{{{a^{2n + 2}} - 1}}{{{a^2} - 1}}

Dạng 4: Tổng các số có dạng S = a + a3 + a5 + a7 + … + a2n+1 (6)

Bước 1: Nhân cả hai vế của đẳng thức với số a2 ta được:

a2.S = a3 + a5 + a7 + … + a2n +3 (7)

Bước 2: Lấy biểu thức (7) – biểu thức (6) ta được:

a2.S – S = a2n+2 – 1

=> S = \frac{{{a^{2n + 3}} - 1}}{{{a^2} - 1}}

Dạng 5: Tổng các số có dạng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4 . 5 + … + (n – 1) . n (8)

Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 1

=> Nhân vào hai vế của biểu thức (8) với 3 lần khoảng cách ta được:

3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + …. + (n-1).n.3

= 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 – 2) + 4.5.(6 – 3) + …. + (n – 2)(n – 1).[n- (n – 3)] + (n – 1).n.[(n + 1) – (n – 2)]

= (n – 1).n.(n + 1)

=> S = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{3}

Dạng 6: Tổng các số có dạng S = \frac{1}{{{a_1}.{a_2}}} + \frac{1}{{{a_2}.{a_3}}} + \frac{1}{{{a_3}.{a_4}}} + ... + \frac{1}{{{a_{n - 1}}.{a_n}}}  (9)

Trường hợp 1: Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = …. = a­n – a­n-1 = 1 thì:

\begin{matrix} S = \dfrac{1}{{{a_1}.{a_2}}} + \dfrac{1}{{{a_2}.{a_3}}} + \dfrac{1}{{{a_3}.{a_4}}} + ... + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}.{a_n}}} \hfill \\ S = \dfrac{1}{{{a_1}}} - \dfrac{1}{{{a_2}}} + \dfrac{1}{{{a_2}}} - \dfrac{1}{{{a_3}}} + \dfrac{1}{{{a_3}}} - \dfrac{1}{{{a_4}}} + ... + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}} - \dfrac{1}{{{a_n}}} \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{1}{{{a_1}}} - \dfrac{1}{{{a_n}}} \hfill \\ \end{matrix}

Trường hợp 2: Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = …. = a­n – a­n-1 = m > 1 thì:

\begin{matrix} S = \dfrac{1}{{{a_1}.{a_2}}} + \dfrac{1}{{{a_2}.{a_3}}} + \dfrac{1}{{{a_3}.{a_4}}} + ... + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}.{a_n}}} \hfill \\ S = \dfrac{1}{m}\left( {\frac{1}{{{a_1}}} - \dfrac{1}{{{a_2}}} + \dfrac{1}{{{a_2}}} - \dfrac{1}{{{a_3}}} + \dfrac{1}{{{a_3}}} - \dfrac{1}{{{a_4}}} + ... + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}} - \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{1}{m}\left( {\dfrac{1}{{{a_1}}} - \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

B. Bài tập tính tổng dãy số

Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức sau:

a) (2 + 4 + 6 + 8 + … + 2014) – (3 + 5 + 7 + 9 + … + 2011)

b) \left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{6}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{10}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{15}}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{780}}} \right)

c) \frac{{1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2012}}}}{{{3^{2014}} - 3}}

d) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99

Hướng dẫn giải

a) (2 + 4 + 6 + 8 + … + 2014) – (3 + 5 + 7 + 9 + … + 2011)

Dễ thấy:

2 + 4 + 6 + 8 + … + 2014 có 1007 số hạng

3 + 5 + 7 + 9 + … + 2011 có 1005 số hạng

Khi đó ta có:

(2 + 4 + 6 + 8 + … + 2014) – (3 + 5 + 7 + 9 + … + 2011)

= (2 – 3) + (4 – 5) + (6 – 7) + … + (2010 – 2011) + (2012 + 2014) ---> có 1006 nhóm

= (-1) + (-1) + (-1 ) + … + (-1) + 4026 ---> Có 1005 số hạng (-1)

= -1005 + 4026 = 3021

b) \left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{6}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{10}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{15}}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{780}}} \right)

\begin{matrix} = \dfrac{4}{6}.\dfrac{{10}}{{12}}.\dfrac{{18}}{{20}}.\dfrac{{28}}{{30}}....\dfrac{{1558}}{{1560}} \hfill \\ = \dfrac{{1.4}}{{2.3}}.\dfrac{{2.5}}{{3.4}}.\dfrac{{3.6}}{{4.5}}.....\dfrac{{38.41}}{{39.40}} \hfill \\ = \dfrac{{1.2.3.4....38}}{{2.3.4....39}}.\dfrac{{4.5.6....41}}{{3.4.5....40}} = \dfrac{1}{{39}}.\dfrac{{41}}{3} = \dfrac{{41}}{{117}} \hfill \\ \end{matrix}

c) \frac{{1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2012}}}}{{{3^{2014}} - 3}}

Ta có:

\begin{matrix} A = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2012}} \hfill \\ = > 3.A = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2012}} + {3^{2013}} \hfill \\ = > 3A - A = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2012}} + {3^{2013}} - \left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2012}}} \right) \hfill \\ = > 2A = {3^{2013}} - 1 \hfill \\ = > 2A = {3^{2013}} - 1 \hfill \\ = > A = \dfrac{{{3^{2013}} - 1}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Khi đó suy ra:

\dfrac{{1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2012}}}}{{{3^{2014}} - 3}} = \dfrac{{\dfrac{{{3^{2013}} - 1}}{2}}}{{3.\left( {{3^{2013}} - 1} \right)}} = \dfrac{1}{6}

d) A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99

3.A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + …. + 98.99.3

= 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 – 2) + 4.5.(6 – 3) + …. + 98.99.(100 – 97)

= 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 – 2) + 4.5.(6 – 3) + …. + 98.99.100 – 97.98.99

= 98.99.100

=> A = 97.98.99 : 3 = 32340

Bài tập 2: Tính nhanh:

a) A = \frac{{{3^2}}}{{1.4}} + \frac{{{3^2}}}{{4.7}} + \frac{{{3^2}}}{{7.10}} + ... + \frac{{{3^2}}}{{97.100}}

b) B = -1 – 2 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8 - … - 2013 – 2014 + 2015 + 2016

c) C = \left( {\frac{1}{2} - 1} \right):\left( {\frac{1}{3} - 1} \right):\left( {\frac{1}{4} - 1} \right):\left( {\frac{1}{5} - 1} \right):....:\left( {\frac{1}{{98}} - 1} \right):\left( {\frac{1}{{99}} - 1} \right):\left( {\frac{1}{{100}} - 1} \right)

d) D = \frac{{101 + 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1}}{{101 - 100 + 99 - 98 + ... + 3 - 2 + 1}}

Hướng dẫn giải

a) A = \frac{{{3^2}}}{{1.4}} + \frac{{{3^2}}}{{4.7}} + \frac{{{3^2}}}{{7.10}} + ... + \frac{{{3^2}}}{{97.100}}

\begin{matrix} = 3\left( {\dfrac{3}{{1.4}} + \dfrac{3}{{4.7}} + \dfrac{3}{{7.10}} + ... + \dfrac{3}{{97.100}}} \right) \hfill \\ = 3\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}} + .. + \dfrac{1}{{97}} - \dfrac{1}{{100}}} \right) \hfill \\ = 3.\left( {1 - \dfrac{1}{{100}}} \right) = \dfrac{{297}}{{100}} \hfill \\ \end{matrix}

b) B = -1 – 2 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8 - … - 2013 – 2014 + 2015 + 2016 ---> Có 2016 số hạng

= (-1 – 2 + 3 + 4) + (-5 – 6 + 7 + 8) + (-9 – 10 + 11 + 12) + … + (-2013 – 2014 + 2015 + 2016) ---> Có 2016 : 4 = 504 nhóm

= 4 + 4 + 4 + …. + 4 ---> Có tổng 504 số 4

= 4 . 504 = 2016

c) C = \left( {\frac{1}{2} - 1} \right):\left( {\frac{1}{3} - 1} \right):\left( {\frac{1}{4} - 1} \right):\left( {\frac{1}{5} - 1} \right):....:\left( {\frac{1}{{98}} - 1} \right):\left( {\frac{1}{{99}} - 1} \right):\left( {\frac{1}{{100}} - 1} \right)

\begin{matrix} B = \left( { - \dfrac{1}{2}} \right):\left( { - \dfrac{2}{3}} \right):\left( { - \dfrac{3}{4}} \right):...:\left( { - \dfrac{{98}}{{99}}} \right):\left( {\dfrac{{ - 99}}{{100}}} \right) \hfill \\ B = \left( { - \dfrac{1}{2}} \right).\left( { - \dfrac{3}{2}} \right).\left( { - \dfrac{4}{3}} \right).....\left( { - \dfrac{{99}}{{98}}} \right).\left( {\dfrac{{ - 100}}{{99}}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Ta thấy tích có 99 thừa số => Biểu thức mang dấu âm

B = - \frac{{1.3.4.5.6....98.99.10}}{{2.2.3.4.5....97.98.99}} = - \frac{{100}}{{2.2}} = - 25

d) D = \frac{{101 + 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1}}{{101 - 100 + 99 - 98 + ... + 3 - 2 + 1}}

Ta có:

Xét 101 + 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1

= 101 + (100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1)

= 101 + 101 . 100 : 2 = 101 + 5050 = 5151

Xét 101 – 100 + 99 – 98 + … + 3 – 2 + 1

= (101 – 100) + (99 – 98) + … + (3 – 2) + 1 = 50 + 1 = 51

=> D = \frac{{101 + 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1}}{{101 - 100 + 99 - 98 + ... + 3 - 2 + 1}} = \frac{{5151}}{{51}} = 101

Bài tập 3: Tính tổng A = \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}}

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} 3.A = 3\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{3^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{3^{100}}}}} \right) \hfill \\ 3.A = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{3^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{3^{99}}}} \hfill \\ \Rightarrow 3.A - A = \left( {1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{3^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{3^{99}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{3^3}}} + ... + \dfrac{1}{{{3^{100}}}}} \right) \hfill \\ \Rightarrow 2A = 1 - \dfrac{1}{{{3^{100}}}} = \dfrac{{{3^{100}} - 1}}{{{3^{100}}}} \hfill \\ \end{matrix}

-------------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Toán lớp 6 Bài tập Tính nhanh sẽ giúp các em học sinh củng cố, ghi nhớ lý thuyết, bài tập tính nhanh Toán lớp 6. Đây cũng là phần kiến thức thường xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra môn Toán lớp 6, chính vì vậy việc nắm vững các kiến thức là rất quan trọng giúp các em học sinh có thể đạt điểm cao trong các bài thi của mình. Hy vọng tài liệu trên sẽ giúp các em học sinh ghi nhớ lý thuyết về tam giác từ đó vận dụng giải các bài toán về tam giác một cách dễ dàng hơn. Chúc các em học tốt.

Chia sẻ bởi: Cự Giải
Mời bạn đánh giá!
  • Lượt xem: 7.213
Tìm thêm: Toán lớp 6 bài tập toán lớp 6
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

    Chủ đề liên quan

    Mới nhất trong tuần